Problema 304

Considera los planos \pi_1 y \pi_2 dados respectivamente por las ecuaciones:

(x,y,z)=(-2,0,7)+\lambda(1,-2,0)+\mu(0,1,-1)

y

2x+y-z+5=0

Determina los puntos de la recta r definida por x=y+1=\dfrac{z-1}{-3} que equidistan de \pi_1 y \pi_2.


Solución:

En primer lugar, escribimos la ecuación de la recta r en paramétricas:

r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=\alpha\\y=-1+\alpha\\z=1-3\alpha\end{array}\right.

Recordamos que la distancia de un punto P=(x_0,y_0,z_0) a un plano \pi:~Ax+By+Cz+D=0 es:

\boxed{d(P,\pi)=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}

Escribimos el plano \pi_1 en forma implícita:

\begin{vmatrix}x+2&y&z-7\\1&-2&0\\0&1&-1\end{vmatrix}=2(x+2)+z-7+y=2x+y+z-3

Luego \pi_1:~2x+y+z-3=0.

Un punto cualquiera P perteneciente a la recta r tiene las siguientes coordenadas

P=(\alpha, -1+\alpha,1-3\alpha).

Calculamos la distancia entre P y \pi_1

d(P,\pi_1)=\dfrac{|2\alpha+(-1+\alpha)+1-3\alpha-3|}{\sqrt{2^2+1^2+1^2}}=\dfrac{|-3|}{\sqrt{6}}=\dfrac 3{\sqrt 6}

y la distancia entre P y \pi_2:

d(P,\pi_2)=\dfrac{|2\alpha+(-1+\alpha)-(1-3\alpha)+5|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}}=\dfrac{|6\alpha+3|}{\sqrt{6}}

Solo tenemos que igualar ambas distancias para obtener lo que se pide en el ejercicio:

\dfrac{|6\alpha+3|}{\sqrt{6}}=\dfrac 3{\sqrt 6}

Resolvemos esta ecuación con valor absoluto:

\bullet~\dfrac{6\alpha+3}{\sqrt6}=\dfrac 3{\sqrt6}\\\\6\alpha+3=3\\\\6\alpha=0\\\\\alpha=0

\bullet~\dfrac{-6\alpha-3}{\sqrt6}=\dfrac 3{\sqrt6}\\\\-6\alpha-3=3\\\\-6\alpha=6\\\\\alpha=-1

Dado que P=(\alpha, -1+\alpha,1-3\alpha), los puntos buscados son:

  • \alpha=0\longrightarrow P_1=(0,-1,1)
  • \alpha=-1\longrightarrow P_2=(-1,-2,4)

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