Problema 305

Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular para unos caballos en una zona llana. Cada metro del lado del cercado que está junto a la carretera nos cuesta 100 euros, mientras que para el resto del cercado nos cuesta 10 euros el metro. ¿Cuáles son las dimensiones del prado de área máxima que podemos cercar con 3000 euros?


Solución:

Se trata de una región rectangular cuya base mide x y cuya altura mide y. El precio a pagar por el total del cercado es 3000€, es decir

p305

3000=10x+10y+10y+100x~;\\\\3000=110x+20y~;\\\\300=11x+2y

De entre todos los cercados que se pueden construir con ese presupuesto nos piden el que maximice el área. Definimos la función área S:

S(x,y)=x\cdot y

Utilizamos el dato del dinero para eliminar una de las variables de la función área:

300=11x+2y~;\\\\y=\dfrac{300-11x}2

Sustituimos en la función área:

S(x)=x\cdot\dfrac{300-11x}2=\dfrac{300x-11x^2}2

Obtenemos los puntos críticos de la función área:

S'(x)=\dfrac{300-22x}2=150-11x=0~;\\\\150=11x~;\\\\x=\dfrac{150}{11}

Veamos si este punto crítico corresponde a un máximo utilizando el test de la derivada segunda:

S''(x)=-11<0

Luego en x=\dfrac{150}{11}\approx13.6 la función área alcanza un máximo. La base del rectángulo vale por tanto 13.6 m.

Solo nos queda calcular el valor de la dimensión y:

y=\dfrac{300-11\cdot\frac{150}{11}}2=75 m.

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