Problema 306

Calcula un número positivo a, menor que 2, para que el recinto limitado por la parábola de ecuación $y=\dfrac 12x^2$ y las dos rectas horizontales de ecuaciones $y=a$ e $y=2$ , tenga un área de $\dfrac{14}3$ unidades cuadradas.

Solución:

No nos piden un esbozo pero aun así nosotros lo vamos a hacer.

$y=\dfrac 12x^2$ es una parábola convexa que tiene su vértice en el (0,0). Luego tenemos dos rectas horizontales, una es $y=2$ y otra más abajo $y=a$ ya que 0<a<2.

p306

Primero calculamos donde cada recta corta con la parábola.

Corte de la parábola con y=2:

$\dfrac{x^2}2=2~;\\\\x=\pm\sqrt4=\pm 2$

Corte de la parábola con y=a:

$\dfrac{x^2}2=a~;\\\\x=\pm\sqrt{2a}$

Como todas las funciones presentan simetría para el área total limitada es el doble del área limitada en el primer cuadrante. Así pues:

$\displaystyle \frac 73=\int_0^{\sqrt{2a}}2-a~dx+\int_{\sqrt{2a}}^{2}2-\frac{x^2}2~dx=\\\\=\left[(2-a)x\right]_0^{\sqrt{2a}}+\left[2x-\frac{x^3}6\right]_{\sqrt{2a}}^{2}=\\\\=(2-a)\sqrt{2a}+\left(4-\frac{8}6\right)-\left(2\sqrt{2a}-\frac{\sqrt{2a}^3}6\right)=\\\\=2\sqrt{2a}-a\sqrt{2a}+\frac{16}6-2\sqrt{2a}+\frac{2a\sqrt{2a}}6=\\\\=\frac{-3\cdot2a\sqrt{2a}+16+2a\sqrt{2a}}6=\\\\=\frac{-2\sqrt{2a}+16}6=\frac 73$