Problema 307

Considera el sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{ccccccc}2x&-&2y&+&4z&=&4\\2x&&&+&z&=&a\\-3x&-&3y&+&3z&=&-3\end{array}\right.

a) Discútelo según los valores del parámetro a.

b) Resuélvelo cuando sea posible.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius. Primero definimos las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}2&-2&4\\2&0&1\\-3&-3&3\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}2&-2&4&4\\2&0&1&a\\-3&-3&3&-3\end{pmatrix}

Calculamos el rango de M:

\begin{vmatrix}2&-2&4\\2&0&1\\-3&-3&3\end{vmatrix}=6-24+12+6=0

\begin{vmatrix}-2&4\\0&1\end{vmatrix}=-2\neq0

Por tanto, el rango de M es 2. Veamos cual es el rango de M*:

\begin{vmatrix}2&-2&4\\2&0&a\\-3&-3&-3\end{vmatrix}=6a-24-12+6a=12a-36

Este determinante es 0 para a=3. Por tanto:

  • Si a≠3, rg(M)=2 y  rg(M*)=3, por lo que el sistema es incompatible.
  • Si a=3, rg(M)=2 y rg(M*)=2, siendo n=3, el sistema es compatible indeterminado.

b) Solo se puede resolver en el caso a=3. En este caso, el sistema equivalente es:

\left\{\begin{array}{ccccccc}2x&-&2y&+&4z&=&4\\2x&&&+&z&=&3\end{array}\right.

que resolveremos haciendo el cambio x=\lambda.

\left\{\begin{array}{ccccc}-2y&+&4z&=&4-2\lambda\\&&z&=&3-2\lambda\end{array}\right.

de donde z=3-2\lambda e

-2y+4z=4-2\lambda~;\\\\-y+2z=2-\lambda~;\\\\y=2z-2+\lambda~;\\\\y=2(3-2\lambda)-2+\lambda~;\\\\y=6-4\lambda-2+\lambda~;\\\\y=4-3\lambda

La solución es:

\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\\\y=4-3\lambda\\\\z=3-2\lambda\end{array}\right.

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