Problema 308

Dada la recta r definida por \dfrac{x-1}3=\dfrac{y+1}2=-z+3 y la recta s definida por

\left\{\begin{aligned}x&=1\\2y-z&=-2\end{aligned}\right.

a) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r.

b)Halla la ecuación del plano que contiene a s y es paralelo a r.


Solución:

a) A partir de la ecuación en forma continua de la recta r es fácil darse cuenta de que esta recta pasa por el punto P_r=(1,-1,3) y que tiene vector director \vec v_r=(3,2,-1).

El plano que nos piden ha de pasar por O=(0,0,0) y contener a la recta r. Entonces dicho plano estará formado por el punto O, y por los vectores directores \overrightarrow{OP_r} y \vec v_r, siendo

\overrightarrow{OP_r}=(1,-1,3)-(0,0,0)=(1,-1,3)

Escribimos dicho plano en su forma general:

\begin{vmatrix}x&y&z\\1&-1&3\\3&2&-1\end{vmatrix}=x+9y+2z+3z+y-6x=-5x+10y+5z=0

Simplificando, el plano buscado es: -x+2y+z=0.


b) Escribimos la recta s en paramétricas haciendo el cambio y=\lambda

s\equiv\left\{\begin{array}{l}x=1\\y=\lambda\\z=2\lambda+2\end{array}\right.

De esta forma es fácil darse cuenta de que s pasa por el punto P_s=(1,0,2) y que tiene por vector director \vec v_s=(0,1,2).

El plano que tenemos que construir ha de contener a s y ser paralelo a r por tanto, dicho plano se construirá con P_s y con los vectores directores \vec v_s y \vec v_r:

\begin{vmatrix}x-1&y&z-2\\0&1&2\\3&2&-1\end{vmatrix}=-x+1+6y-3z+6-4x+4=-5x+6y-3z+11=0

Y esa es la ecuación del plano buscado: -5x+6y-3z+11=0

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