Problema 308

Dada la recta r definida por $\dfrac{x-1}3=\dfrac{y+1}2=-z+3$ y la recta s definida por

$\left\{\begin{aligned}x&=1\\2y-z&=-2\end{aligned}\right.$

a) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r.

b)Halla la ecuación del plano que contiene a s y es paralelo a r.

Solución:

a) A partir de la ecuación en forma continua de la recta r es fácil darse cuenta de que esta recta pasa por el punto $P_r=(1,-1,3)$ y que tiene vector director $\vec v_r=(3,2,-1)$ .

El plano que nos piden ha de pasar por $O=(0,0,0)$ y contener a la recta r. Entonces dicho plano estará formado por el punto O, y por los vectores directores $\overrightarrow{OP_r}$ y $\vec v_r$ , siendo

$\overrightarrow{OP_r}=(1,-1,3)-(0,0,0)=(1,-1,3)$

Escribimos dicho plano en su forma general:

$\begin{vmatrix}x&y&z\\1&-1&3\\3&2&-1\end{vmatrix}=x+9y+2z+3z+y-6x=-5x+10y+5z=0$

Simplificando, el plano buscado es: $-x+2y+z=0$ .

b) Escribimos la recta s en paramétricas haciendo el cambio $y=\lambda$

$s\equiv\left\{\begin{array}{l}x=1\\y=\lambda\\z=2\lambda+2\end{array}\right.$

De esta forma es fácil darse cuenta de que s pasa por el punto $P_s=(1,0,2)$ y que tiene por vector director $\vec v_s=(0,1,2)$ .

El plano que tenemos que construir ha de contener a s y ser paralelo a r por tanto, dicho plano se construirá con $P_s$ y con los vectores directores $\vec v_s$ y $\vec v_r$ :