Problema 309

En una empresa los ingresos (en euros) dependen de la edad. Si la edad, x, es de 18 a 50 años, los ingresos vienen dados por la fórmula -x^2+70x, mientras que para edades iguales o superiores a 50 años los ingresos están determinados por la expresión, \dfrac{400x}{x-30}.

Calcula cuál es el máximo de los ingresos y a qué edad se alcanza.


Solución:

En primer lugar escribimos la función descrita en el enunciado:

f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}-x^2+70x&\mbox{si}&18\leq x<50\\\\\dfrac{400x}{x-30}&\mbox{si}&x\geq50\end{array}\right.

Veamos si esta función es continua en x=50:

  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow50^+}\dfrac{400x}{x-30}=1000
  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow50^-}-x^2+70x=1000
  • f(50)=\dfrac{400\cdot 50}{50-30}=1000

Por lo que sí es continua en x=50. Veamos si además es derivable en x=50:

f'(x)=\left\{\begin{array}{lcl}-2x+70&\mbox{si}&18<x<50\\\\\dfrac{-12000}{(x-30)^2}&\mbox{si}&x\geq50\end{array}\right.

  • \displaystyle f'(50^+)=\lim_{x\rightarrow50^+}\dfrac{-12000}{(x-30)^2}=-30
  • \displaystyle f'(50^-)=\lim_{x\rightarrow50^-}-2x+70=-30

También es derivable en x=50.

Para calcular el máximo de esta función obtenemos sus puntos críticos:

\bullet~\dfrac{-12000}{(x-30)^2}=0~;\\\\-12000=0~!!!

\bullet~-2x+70=0~;\\\\x=35

Estudiamos la monotonía de esta función en torno al punto crítico:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(18,35)&(35,50)&(50,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&-\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

Observamos que para x=35 se alcanza un máximo cuyo valor es de f(35)=1225 €.

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