Problema 310

Dada la función f:~\mathbb R\longrightarrow\mathbb R definida por f(x)=-2x^2+3x-1

a) Prueba que las rectas y=-x+1 e y=3x-1 son tangentes a su gráfica.

b) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de f y las rectas mencionadas en el apartado anterior.


Solución:

a) Si estas dos rectas son tangentes a la gráfica de f es porque existen puntos en f que cumplen lo siguiente:

  • Las rectas tangentes y la función f coinciden en los puntos de tangencia.
  • La pendiente de la función en el punto de tangencia es igual a la de la recta tangente.

Dada la recta y=-x+1 veamos donde se corta con la función f:

-x+1=-2x^2+3x-1~;\\\\2x^2-4x+2=0~;\\\\x^2-2x+1=0~;\\\\(x-1)^2=0

ecuación cuya solución es x=1. La función f y la recta y=-x+1 se cortan en el punto x=1, y=0: (1,0).
La pendiente de la función f en ese punto es:

f'(x)=-4x+3\longrightarrow f'(1)=-4+3=-1

Pendiente que coincide con la pendiente de la recta y=-x+1. Por tanto, esta recta es tangente a f en (1,0).

Veamos si la recta y=3x-1 es también tangente a f. Primero calculamos el punto de corte de ambas gráficas:

$latex 3x-1=-2x^2+3x-1~;\\\\2x^2=0

ecuación cuya solución es x=0. Luego el punto de corte de ambas es el (0,-1).
Veamos cual es la pendiente de f en ese punto:

f'(0)=3

que coincide con la pendiente de la recta y=3x-1, por tanto, esta recta también es tangente a f.


b) Aunque no es imprescindible, hacer un esbozo de las rectas y la función ayuda a determinar la integral que necesitamos para obtener el área:

  • f(x)=-2x^2+3x-1 es una parábola cóncava que corta al eje x en los puntos (1,0) y (1/2,0)
  • y=-x+1 es una recta decreciente tangente a f en el punto (1,0)
  • y=3x-1 es una recta creciente tangente a f en el punto (0,-1)

Con estos datos podríamos hacer un esbozo semejante a la siguiente gráfica:

p310A la vista de la gráfica, debemos calcular donde se cortan las dos rectas tangentes:

-x+1=3x-1~;\\\\4x=2~;\\\\x=\dfrac 12

Por tanto, el área S buscada es:

\displaystyle S=\int_0^{\frac 12}3x-1-(-2x^2+3x-1)~dx+\int_{\frac 12}^1-x+1-(-2x^2+3x-1)~dx=\\\\=\int_0^{\frac 12}2x^2~dx+\int_{\frac 12}^12x^2-4x+2~dx=\left[\frac{2x^3}3\right]_0^{\frac 12}+2\int_{\frac 12}^1(x-1)^2~dx=\\\\=\left[\frac{2x^3}3\right]_0^{\frac 12}+2\left[\frac{(x-1)^3}3\right]_{\frac 12}^1=\frac{2\cdot\frac 18}3-2\frac{-\frac 18}3=\\\\=\frac 1{12}+\frac 1{12}=\frac 16\mbox{ u.a.}

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