Dada la función 
a) Prueba que las rectas 
b) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de f y las rectas mencionadas en el apartado anterior.
Solución:
a) Si estas dos rectas son tangentes a la gráfica de f es porque existen puntos en f que cumplen lo siguiente:
- Las rectas tangentes y la función f coinciden en los puntos de tangencia.
- La pendiente de la función en el punto de tangencia es igual a la de la recta tangente.
Dada la recta
ecuación cuya solución es x=1. La función f y la recta
La pendiente de la función f en ese punto es:
Pendiente que coincide con la pendiente de la recta
Veamos si la recta
$latex
ecuación cuya solución es x=0. Luego el punto de corte de ambas es el (0,-1).
Veamos cual es la pendiente de f en ese punto:
que coincide con la pendiente de la recta
b) Aunque no es imprescindible, hacer un esbozo de las rectas y la función ayuda a determinar la integral que necesitamos para obtener el área:
es una parábola cóncava que corta al eje x en los puntos (1,0) y (1/2,0)
Con estos datos podríamos hacer un esbozo semejante a la siguiente gráfica:
A la vista de la gráfica, debemos calcular donde se cortan las dos rectas tangentes:
Por tanto, el área S buscada es:
![\displaystyle S=\int_0^{\frac 12}3x-1-(-2x^2+3x-1)~dx+\int_{\frac 12}^1-x+1-(-2x^2+3x-1)~dx=\\\\=\int_0^{\frac 12}2x^2~dx+\int_{\frac 12}^12x^2-4x+2~dx=\left[\frac{2x^3}3\right]_0^{\frac 12}+2\int_{\frac 12}^1(x-1)^2~dx=\\\\=\left[\frac{2x^3}3\right]_0^{\frac 12}+2\left[\frac{(x-1)^3}3\right]_{\frac 12}^1=\frac{2\cdot\frac 18}3-2\frac{-\frac 18}3=\\\\=\frac 1{12}+\frac 1{12}=\frac 16\mbox{ u.a.}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac+12%7D3x-1-%28-2x%5E2%2B3x-1%29%7Edx%2B%5Cint_%7B%5Cfrac+12%7D%5E1-x%2B1-%28-2x%5E2%2B3x-1%29%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac+12%7D2x%5E2%7Edx%2B%5Cint_%7B%5Cfrac+12%7D%5E12x%5E2-4x%2B2%7Edx%3D%5Cleft%5B%5Cfrac%7B2x%5E3%7D3%5Cright%5D_0%5E%7B%5Cfrac+12%7D%2B2%5Cint_%7B%5Cfrac+12%7D%5E1%28x-1%29%5E2%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%5B%5Cfrac%7B2x%5E3%7D3%5Cright%5D_0%5E%7B%5Cfrac+12%7D%2B2%5Cleft%5B%5Cfrac%7B%28x-1%29%5E3%7D3%5Cright%5D_%7B%5Cfrac+12%7D%5E1%3D%5Cfrac%7B2%5Ccdot%5Cfrac+18%7D3-2%5Cfrac%7B-%5Cfrac+18%7D3%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cfrac+1%7B12%7D%2B%5Cfrac+1%7B12%7D%3D%5Cfrac+16%5Cmbox%7B+u.a.%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "\displaystyle S=\int_0^{\frac 12}3x-1-(-2x^2+3x-1)~dx+\int_{\frac 12}^1-x+1-(-2x^2+3x-1)~dx=\\\\=\int_0^{\frac 12}2x^2~dx+\int_{\frac 12}^12x^2-4x+2~dx=\left[\frac{2x^3}3\right]_0^{\frac 12}+2\int_{\frac 12}^1(x-1)^2~dx=\\\\=\left[\frac{2x^3}3\right]_0^{\frac 12}+2\left[\frac{(x-1)^3}3\right]_{\frac 12}^1=\frac{2\cdot\frac 18}3-2\frac{-\frac 18}3=\\\\=\frac 1{12}+\frac 1{12}=\frac 16\mbox{ u.a.}")
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