Dada la función definida por

a) Prueba que las rectas e son tangentes a su gráfica.

b) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de f y las rectas mencionadas en el apartado anterior.

Solución:

a) Si estas dos rectas son tangentes a la gráfica de f es porque existen puntos en f que cumplen lo siguiente:

• Las rectas tangentes y la función f coinciden en los puntos de tangencia.
• La pendiente de la función en el punto de tangencia es igual a la de la recta tangente.

Dada la recta veamos donde se corta con la función f:

ecuación cuya solución es x=1. La función f y la recta se cortan en el punto x=1, y=0: (1,0).
La pendiente de la función f en ese punto es:

Pendiente que coincide con la pendiente de la recta . Por tanto, esta recta es tangente a f en (1,0).

Veamos si la recta es también tangente a f. Primero calculamos el punto de corte de ambas gráficas:

$latex

ecuación cuya solución es x=0. Luego el punto de corte de ambas es el (0,-1).
Veamos cual es la pendiente de f en ese punto:

que coincide con la pendiente de la recta , por tanto, esta recta también es tangente a f.

b) Aunque no es imprescindible, hacer un esbozo de las rectas y la función ayuda a determinar la integral que necesitamos para obtener el área:

• es una parábola cóncava que corta al eje x en los puntos (1,0) y (1/2,0)
• es una recta decreciente tangente a f en el punto (1,0)
• es una recta creciente tangente a f en el punto (0,-1)

Con estos datos podríamos hacer un esbozo semejante a la siguiente gráfica:

A la vista de la gráfica, debemos calcular donde se cortan las dos rectas tangentes:

Por tanto, el área S buscada es:

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