Problema 311

Dada la matriz A=\begin{pmatrix}-1&1\\2&-1\end{pmatrix}

a) Demuestra que A^2+2A=I y que A^{-1}=A+2I, siendo I la matriz identidad de orden 2.

b) Calcula la matriz X que verifica la ecuación A^2+XA+5A=4I.


Solución:

a) Calculamos A^2+2A:

A^2+2A=\begin{pmatrix}-1&1\\2&-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&1\\2&-1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}-1&1\\2&-1\end{pmatrix}=\\\\=\begin{pmatrix}3&-2\\-4&3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2&2\\4&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I

Por otra parte, hemos de demostrar que A^{-1}=A+2I. En efecto, sabemos que A^2+2A=I y que AA^{-1}=I.
Como A^2+2A=A(A+2I)=I, entonces A+2I=A^{-1}, como queríamos demostrar.


b) Comenzamos por despejar la matriz X de la ecuación matricial:

A^2+XA+5A=4I~;\\\\XA=4I-A^2-5A

pero según se vio antes, A^2=I-2A

XA=4I-(I-2A)-5A~;\\\\XA=3I-3A~;\\\\X=(3I-3A)A^{-1}~;\\\\X=3A^{-1}-3AA^{-1}

pero A^{-1}=A+2I y AA^{-1}=I:

X=3(A+2I)-3I~;\\\\X=3A+3I

Ya podemos calcular fácilmente la matriz X:

X=3\cdot\begin{pmatrix}-1&1\\2&-1\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\\\\=\begin{pmatrix}-3&3\\6&-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&3\\6&0\end{pmatrix}

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