Problema 312

Dada la recta r definida por $\dfrac{x+7}2=\dfrac{y-7}{-1}=z$ , y la recta s definida por

$\left\{\begin{aligned}&x=2\\&y=-5\\&z=\lambda\end{aligned}\right.$

a) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a ambas.

b) Calcula la distancia entre r y s.

Solución:

a) La recta que corta perpendicularmente a otras dos se llama recta perpendicular común.

Para calcular la recta perpendicular común t, primero calculamos la dirección que es perpendicular a la dirección de las dos rectas. Dado que $\vec v_r=(2,-1,1)$ y $\vec v_s=(0,0,1)$ , entonces:

$\vec v_t=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\2&-1&1\\0&0&1\end{vmatrix}=-\vec\imath-2\vec\jmath=(-1,-2,0)$

Calculamos un plano $\pi_r$ que contenga a r y sea perpendicular a s:

$\pi_r:~(x,y,z)=(-7,7,0)+\alpha(2,-1,1)+\beta(-1,-2,0)$

que escribimos en forma implícita

$\begin{vmatrix}x+7&y-7&z\\2&-1&1\\-1&-2&0\end{vmatrix}=-y+7-4z-z+2x+14=2x-y-5z+21\\\\\pi_r:~2x-y-5z+21=0$

Ahora calculamos un plano $\pi_s$ que contenga a s y sea perpendicular a r:

$\pi_s:~(x,y,z)=(2,-5,0)+\gamma(0,0,1)+\delta(-1,-2,0)$

que escribimos en forma implícita

$\begin{vmatrix}x-2&y+5&z\\0&0&1\\-1&-2&0\end{vmatrix}=-y-5+2x-4=2x-y-9\\\\\pi_s:~2x-y-9=0$

La recta t buscada es la intersección de ambos planos: $t=\pi_r\cap\pi_s$ :

$t\equiv\left\{\begin{array}{l}2x-y-5z+21=0\\2x-y-9=0\end{array}\right.$

b) Dado el punto y el vector de r: $P_r=(-7,7,0)$ y $\vec v_r=(2,-1,1)$ , y el punto y el vector de s: $P_s=(2,-5,0)$ y $\vec v_s=(0,0,1)$ , la distancia de dos rectas que se cruzan es: