Problema 312

Dada la recta r definida por \dfrac{x+7}2=\dfrac{y-7}{-1}=z, y la recta s definida por

\left\{\begin{aligned}&x=2\\&y=-5\\&z=\lambda\end{aligned}\right.

a) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a ambas.

b) Calcula la distancia entre r y s.


Solución:

a) La recta que corta perpendicularmente a otras dos se llama recta perpendicular común.

Para calcular la recta perpendicular común t, primero calculamos la dirección que es perpendicular a la dirección de las dos rectas. Dado que \vec v_r=(2,-1,1) y \vec v_s=(0,0,1), entonces:

\vec v_t=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\2&-1&1\\0&0&1\end{vmatrix}=-\vec\imath-2\vec\jmath=(-1,-2,0)

Calculamos un plano \pi_r que contenga a r y sea perpendicular a s:

\pi_r:~(x,y,z)=(-7,7,0)+\alpha(2,-1,1)+\beta(-1,-2,0)

que escribimos en forma implícita

\begin{vmatrix}x+7&y-7&z\\2&-1&1\\-1&-2&0\end{vmatrix}=-y+7-4z-z+2x+14=2x-y-5z+21\\\\\pi_r:~2x-y-5z+21=0

Ahora calculamos un plano \pi_s que contenga a s y sea perpendicular a r:

\pi_s:~(x,y,z)=(2,-5,0)+\gamma(0,0,1)+\delta(-1,-2,0)

que escribimos en forma implícita

\begin{vmatrix}x-2&y+5&z\\0&0&1\\-1&-2&0\end{vmatrix}=-y-5+2x-4=2x-y-9\\\\\pi_s:~2x-y-9=0

La recta t buscada es la intersección de ambos planos: t=\pi_r\cap\pi_s:

t\equiv\left\{\begin{array}{l}2x-y-5z+21=0\\2x-y-9=0\end{array}\right.


b) Dado el punto y el vector de r: P_r=(-7,7,0) y \vec v_r=(2,-1,1), y el punto y el vector de s: P_s=(2,-5,0) y \vec v_s=(0,0,1), la distancia de dos rectas que se cruzan es:

\boxed{d(r,s)=\dfrac{|[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{P_rP_s}]|}{|\vec v_r\times\vec v_s|}}

\overrightarrow{P_rP_s}=(2,-5,0)-(-7,7,0)=(9,-12,0)

[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{P_rP_s}]=\begin{vmatrix}2&-1&1\\0&0&1\\9&-12&0\end{vmatrix}=-1(-24+9)=15

\vec v_r\times\vec v_s=\vec v_t=(-1,-2,0)

Luego

d(r,s)=\dfrac{|15|}{\sqrt{(-1)^2+(-2)^2 }}=\dfrac{15}{\sqrt 5}=3\sqrt 5\mbox{ u.l.}

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