Problema 313

Un alambre de 100 m de longitud se divide en dos trozos. Con uno de los trozos se construye un cuadrado y con el otro un rectángulo cuya base es doble que su altura. Calcula las longitudes de cada uno de los trozos con la condición de que la suma de las áreas de estas dos figuras sea mínima.


Solución:

Las figuras siguientes muestran el cuadrado y el rectángulo formado con el alambre.p265Se cumple que la suma de los perímetros son los 100 metros que mide el alambre:

6y+4x=100

La función a optimizar es la suma de las áreas S:

S(x,y)=2y\cdot y+x^2=2y^2+x^2

Sabiendo que 6y+4x=100, podemos escribir que:

3y+2x=50~;\\\\x=\dfrac{50-3y}2

Sustituyendo en S:

S(y)=2y^2+\left(\dfrac{50-3y}2\right)^2=\dfrac{8y^2+(50-3y)^2}4=\\\\=\dfrac{8y^2+2500+9y^2-300y}4=\dfrac{17y^2-300y+2500}4

Calculamos los puntos críticos de esta función:

S'(y)=\dfrac{34y-300}4=0~;\\\\34y-300=0~;\\\\y=\frac{150}{17}

Dado que la función S(y) corresponde a una parábola convexa, en y=150/17 encontramos un mínimo.

El trozo correspondiente al rectángulo mide: 6y=6\cdot\frac {150}{17}=\frac{900}{17}\approx 52.94\mbox{ m}.

El trozo correspondiente al cuadrado mide: 100-\frac{900}{17}=\frac{800}{17}\approx47.06\mbox{ m}.

Más problemas de optimización.

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