Problema 314

Determina la función $f:~(0,+\infty)\rightarrow\mathbb R$ tal que $f''(x)=\dfrac 1x$ y su gráfica tiene tangente horizontal en el punto P(1,1).

Solución:

Para obtener f habrá que integrar 2 veces f”:

$\displaystyle f'(x)=\int \frac 1x~dx=\ln(x)+k_1$

$\displaystyle f(x)=\int \ln(x)+k_1~dx$

La integral $\int\ln(x)~dx$ se hace por el método de integración por partes:

$\begin{array}{lcl}u=\ln(x)&\longrightarrow&du=\dfrac 1x\\dv=dx&\longrightarrow&v=x\end{array}$

de manera que:

$\displaystyle \int\ln(x)~dx=x\ln(x)-\int x\cdot\dfrac 1x~dx=x\ln(x)-x+c$

Por lo que:

$\displaystyle f(x)=\int \ln(x)+k_1~dx=x\ln(x)-x+k_1x+k_0$

Por otra parte, sabemos que f presenta una recta tangente horizontal en el punto (1,1), lo cual quiere decir que:

Utilizamos estas dos ecuaciones para calcular $k_1$ y $k_0$ :

$f'(1)=\ln(1)+k_1=k_1=0\\\\f(1)=1\ln(1)-1+k_1\cdot 1+k_0=-1+k_1+k_0=1$

De estas dos ecuaciones se deduce que $k_1=0$ y $k_0=2$ , luego

$f(x)=x\ln(x)-x+2$

♦

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