Problema 314

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Selectividad Mat II

Determina la función f:~(0,+\infty)\rightarrow\mathbb R tal que f''(x)=\dfrac 1x y su gráfica tiene tangente horizontal en el punto P(1,1).

Solución:

Para obtener f habrá que integrar 2 veces f”:

\displaystyle f'(x)=\int \frac 1x~dx=\ln(x)+k_1

\displaystyle f(x)=\int \ln(x)+k_1~dx

La integral \int\ln(x)~dx se hace por el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=\ln(x)&\longrightarrow&du=\dfrac 1x\\dv=dx&\longrightarrow&v=x\end{array}

de manera que:

\displaystyle \int\ln(x)~dx=x\ln(x)-\int x\cdot\dfrac 1x~dx=x\ln(x)-x+c

Por lo que:

\displaystyle f(x)=\int \ln(x)+k_1~dx=x\ln(x)-x+k_1x+k_0

Por otra parte, sabemos que f presenta una recta tangente horizontal en el punto (1,1), lo cual quiere decir que:

  • f(1)=1
  • f'(1)=0

Utilizamos estas dos ecuaciones para calcular k_1 y k_0:

f'(1)=\ln(1)+k_1=k_1=0\\\\f(1)=1\ln(1)-1+k_1\cdot 1+k_0=-1+k_1+k_0=1

De estas dos ecuaciones se deduce que k_1=0 y k_0=2, luego

f(x)=x\ln(x)-x+2

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