Problema 315

Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son $|A|=\dfrac 12$ y $|B|=-2$ . Halla:

a) $|A^3|$

b) $|A^{-1}|$

c) $|-2A|$

d) $|AB^t|$ , siendo $B^t$ la matriz traspuesta de B.

e) El rango de B.

Solución:

Para hacer los cálculos que se piden utilizaremos las propiedades de los determinantes:

a) $|A^3|$

$|A^3|\underset{P.3}=|A|^3=\left(\dfrac 12\right)^3=\dfrac 18$

b) $|A^{-1}|$

$|A^{-1}|\underset{P.4}=\dfrac 1{|A|}=2$

c) $|-2A|$

$|-2A|\underset{P.6}=(-2)^3|A|=-8\cdot\dfrac 12=-4$

d) $|AB^t|$

$|AB^t|\underset{P.3}=|A||B^t|\underset{P.2}=|A||B|=\dfrac 12\cdot(-2)=-1$

e) El rango de B es 3 ya que B es una matriz cuadrada de orden 3 y su determinante es distinto de 0.

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