Problema 315

Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son |A|=\dfrac 12 y |B|=-2. Halla:

a) |A^3|

b) |A^{-1}|

c) |-2A|

d) |AB^t|, siendo B^t la matriz traspuesta de B.

e) El rango de B.


Solución:

Para hacer los cálculos que se piden utilizaremos las propiedades de los determinantes:

a) |A^3|

|A^3|\underset{P.3}=|A|^3=\left(\dfrac 12\right)^3=\dfrac 18


b) |A^{-1}|

|A^{-1}|\underset{P.4}=\dfrac 1{|A|}=2


c) |-2A|

|-2A|\underset{P.6}=(-2)^3|A|=-8\cdot\dfrac 12=-4


d) |AB^t|

|AB^t|\underset{P.3}=|A||B^t|\underset{P.2}=|A||B|=\dfrac 12\cdot(-2)=-1


e) El rango de B es 3 ya que B es una matriz cuadrada de orden 3 y su determinante es distinto de 0.

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