Problema 316

Considera los puntos A(1,0,2) y B(1,2,-1).

a) Halla un punto C de la recta de ecuación \dfrac{x-1}3=\dfrac y2=z que verifica que el triángulo de vértices A, B y C tiene un ángulo recto en B.

b) Calcula el área del triángulo de vértices A, B y D, donde D es el punto de corte del plano de ecuación 2x-y+3z=6 con el eje OX.


Solución:

a) Escribimos la recta en paramétricas:

\left\{\begin{array}{l}x=1+3\lambda\\y=2\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.

El punto C que pertenece a la recta anterior tiene coordenadas: C=(1+3\lambda,2\lambda,\lambda).
Construimos los siguientes vectores:

\overrightarrow{BA}=(1,0,2)-(1,2,-1)=(0,-2,3)\\\\\overrightarrow{BC}=(1+3\lambda,2\lambda,\lambda)-(1,2,-1)=(3\lambda,2\lambda-2,\lambda+1)

El triángulo de vértices A, B y C ha de presentar un ángulo recto en B, por tanto \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0

\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(0,-2,3)\cdot(3\lambda,2\lambda-2,\lambda+1)=-4\lambda+4+3\lambda+3=-\lambda+7=0

de donde \lambda=7 y por tanto el punto C es (22,14,7).


b) El punto D es la intersección del plano 2x-y+3z=6 y el eje OX cuyas ecuaciones paramétricas son:

OX:\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=0\\z=0\end{array}\right.

Sustituyendo en la ecuación del plano obtenemos:

2\lambda=6~;\\\\\lambda=3

Sustituyendo en la ecuación de la recta obtenemos el punto D=(3,0,0).

Ahora calculamos el área Sdel triángulo formado por los puntos A, B y D utilizando la fórmula:

\boxed{S=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}|}2}

\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}=(0,2,-3)\\\\\overrightarrow{AD}=(3,0,0)-(1,0,2)=(2,0,-2)

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\0&2&-3\\2&0&-2\end{vmatrix}=-4\vec\imath-6\vec\jmath-4\vec k=(-4,-6,-4)

Luego:

S=\dfrac{\sqrt{(-4)^2+(-6)^2+(-4)^2}}2=\dfrac{\sqrt{68}}2=\sqrt{17}\mbox{ u.a.}

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s