Problema 317

Sea f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R la función definida por f(x)=4-x^2

a) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x=2.

b) Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es perpendicular a la recta x+2y-2=0.


Solución:

a) La ecuación de la recta normal es:

\boxed{y-f(x_0)=\dfrac{-1}{f'(x_0)}(x-x_0)}

donde x_0=2 en nuestro caso. Solo nos queda calcular f(x_0) y f'(x_0):

f(2)=0\\\\f'(x)=-2x\longrightarrow f'(2)=-4

Sustituimos en la ecuación de la recta normal:

y-0=\dfrac{-1}{-4}(x-2)~;\\\\y=\dfrac{x-2}4


b) Nos dan la recta x+2y-2=0 cuya pendiente es m=\frac{-1}2. Nos piden que esta recta sea perpendicular a la recta tangente, por tanto, m_{rt}=\frac{-1}m=2.
Como la pendiente de la recta tangente es m_{rt}=f'(x_0), podemos obtener la abscisa del punto de tangencia:

2=f'(x_0)=-2x_0

de donde x_0=-1.

Una vez obtenida la abscisa del punto buscado solo nos falta la ordenada:

f(-1)=4-(-1)^2=3

Luego el punto buscado es (-1,3).

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