Problema 318

Calcula

\displaystyle \int \frac{x^3+x^2}{x^2+x-2}~dx


Solución:

Se trata de una integral racional. Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador hacemos la división de ambos polinomios y escribimos la integral en la forma:

\displaystyle \boxed{\int\dfrac{\mbox{numerador}}{\mbox{denominador}}=\int\mbox{cociente}+\int\dfrac{\mbox{resto}}{\mbox{denominador}}}

En nuestro caso, al hacer la división resulta:

\displaystyle \int \frac{x^3+x^2}{x^2+x-2}~dx=\int x~dx+\int\frac{2x}{x^2+x-2}~dx

Nos centramos en la segunda integral que es racional. Se puede demostrar que el denominador es un polinomio cuyas raíces son x=1 y x=-2. Sabiendo eso, hacemos la siguiente descomposición:

\dfrac{2x}{x^2+x-2}=\dfrac A{x-1}+\dfrac B{x+2}=\dfrac{A(x+2)+B(x-1)}{(x-1)(x+2)}

de donde resulta que: 2x=A(x+2)+B(x-1). Tomamos valores arbitrarios para x y así determinar A y B:

  • Para x=1 → 2=3A de donde A=2/3
  • Para x=-2 → -4=-3b de donde B=4/3

Retomamos el cálculo de la integral:

\displaystyle \int \frac{x^3+x^2}{x^2+x-2}~dx=\int x~dx+\int\frac{2x}{x^2+x-2}~dx=\\\\=\int x~dx+\int\frac{2/3}{x-1}+\int\frac{4/3}{x+2}~dx

Estas integrales ya son inmediatas las tres:

\displaystyle \int x~dx+\int\frac{2/3}{x-1}+\int\frac{4/3}{x+2}~dx=\frac{x^2}2+\frac 23\ln|x-1|+\frac 43\ln|x+2|+k

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