Problema 319

Dada la matriz

A=\begin{pmatrix}0&3&4\\1&-4&-5\\-1&3&4\end{pmatrix}

a) Demuestra que se verifica la igualdad A^3=-I, siendo I la matriz identidad de orden 3.

b) Justifica que A es invertible y halla su inversa.

c) Calcula razonadamente A^{100}.


Solución:

a) Calculamos las potencias sucesivas de A hasta llegar a A³:

A^2=\begin{pmatrix}0&3&4\\1&-4&-5\\-1&3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&3&4\\1&-4&-5\\-1&3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&4&4\\-1&-3&-3\end{pmatrix}

A^3=A\cdot A^2=\begin{pmatrix}0&3&4\\1&-4&-5\\-1&3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&4&4\\-1&-3&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}=-I


b) Para que A admita inversa su determinante ha de ser distinto de 0.
Como el determinante del producto de matrices es igual al producto de los determinantes de dichas matrices (propiedad 3 de las propiedades de los determinantes), entonces si el determinante de A fuese 0, el determinante de las potencias sucesivas de A también serían 0. Pero como A³=-I cuyo determinante es -1, entonces el determinante de A también es distinto de 0 y, por tanto, A es invertible.

Ahora calculamos A⁻¹.
Escribimos las potencias sucesivas de A:

A^0=I\\\\A=\begin{pmatrix}0&3&4\\1&-4&-5\\-1&3&4\end{pmatrix}\\\\A^2=\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&4&4\\-1&-3&-3\end{pmatrix}\\\\A^3=-I\\\\A^4=AA^3=A(-I)=-A\\\\A^5=AA^4=A(-A)=-A^2\\\\A^6=AA^5=A(-A^2)=-A^3=-(-I)=I

Es decir, A(-A^2)=I y como AA^{-1}=I entonces A^{-1}=-A^2. Esto es:

A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&-1\\-1&-4&-4\\1&3&3\end{pmatrix}


c) Sabemos que A^6=A^0=I.
Nos piden calcular A^{100}. Dividimos 100 entre 6 que da cociente 16 y resto 4. Luego:

A^{100}=A^4=-A=\begin{pmatrix}0&-3&-4\\-1&4&5\\1&-3&-4\end{pmatrix}

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