Problema 320

Considera los planos $\pi_1,\,\pi_2$ y $\pi_3$ dados respectivamente por las ecuaciones

$3x-y+z-4=0\qquad x-2y+z-1=0\qquad x+z-4=0$

Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3,1,-1), es paralela al plano $\pi_1$ y corta a la recta de intersección de los planos $\pi_2\mbox{ y }\pi_3.$

Solución:

Calculamos un plano α paralelo a $\pi_1$ :

$\alpha:~3x-y+z+D=0$

que pase por P(3,1,-1)

$3\cdot3-1+(-1)+D=0~;\\\\9-2+D=0~;\\\\D=-7$

Luego el plano α paralelo a $\pi_1$ y que pasa por P es: $3x-y+z-7=0$ .

Calculamos el punto Q donde α corta a la recta de intersección de los planos $\pi_2\mbox{ y }\pi_3$ , resolviendo el sistema de las ecuaciones implícitas de los tres planos:

$\left\{\begin{aligned}3x-y+z&=7\\x-2y+z&=1\\x+z&=4\end{aligned}\right.$

Sistema cuya solución es $x=\frac 94,\,y=\frac 32,\,z=\frac 74$ . Estas son las coordenadas del punto Q.

La recta pedida en el enunciado pasa por P y por Q. Tan solo necesitamos el vector director de dicha recta: el vector $\overrightarrow{PQ}=(\frac 94,\frac 32,\frac 74)-(3,1,-1)=(\frac{-3}4,\frac 12,\frac{11}4)$ o uno proporcional a este $(-3,2,11)$ .