Problema 320

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Considera los planos \pi_1,\,\pi_2 y \pi_3 dados respectivamente por las ecuaciones

3x-y+z-4=0\qquad x-2y+z-1=0\qquad x+z-4=0

Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3,1,-1), es paralela al plano \pi_1 y corta a la recta de intersección de los planos \pi_2\mbox{ y }\pi_3.

Solución:

Calculamos un plano α paralelo a \pi_1:

\alpha:~3x-y+z+D=0

que pase por P(3,1,-1)

3\cdot3-1+(-1)+D=0~;\\\\9-2+D=0~;\\\\D=-7

Luego el plano α paralelo a \pi_1 y que pasa por P es: 3x-y+z-7=0.

Calculamos el punto Q donde α corta a la recta de intersección de los planos \pi_2\mbox{ y }\pi_3, resolviendo el sistema de las ecuaciones implícitas de los tres planos:

\left\{\begin{aligned}3x-y+z&=7\\x-2y+z&=1\\x+z&=4\end{aligned}\right.

Sistema cuya solución es x=\frac 94,\,y=\frac 32,\,z=\frac 74. Estas son las coordenadas del punto Q.

La recta pedida en el enunciado pasa por P y por Q. Tan solo necesitamos el vector director de dicha recta: el vector \overrightarrow{PQ}=(\frac 94,\frac 32,\frac 74)-(3,1,-1)=(\frac{-3}4,\frac 12,\frac{11}4) o uno proporcional a este (-3,2,11).

La recta buscada en forma vectorial es:

(x,y,z)=(3,1,-1)+\lambda(-3,2,11)

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