Problema 321

Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total igual a 54 m². Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que éste tenga volumen máximo.


Solución:

p73Del cilindro de radio r y altura h, tenemos que maximizar su volumen.
La función a optimizar es el volumen:

V(r,h)=\pi r^2h

Utilizamos el dato del área para reducir una de las variables sabiendo que el área de un cilindro es:

S=2\pi r^2+2\pi rh=54

Despejamos de esta última ecuación la variable h:

2\pi rh=54-2\pi r^2~;\\\\h=\dfrac{54-2\pi r^2}{2\pi r}=\dfrac{27-\pi r^2}{\pi r}

Sustituimos h en la función volumen:

V(r)=\pi r^2\cdot\dfrac{27-\pi r^2}{\pi r}=27r-\pi r^3

Calculamos los puntos críticos de la función a optimizar:

V'(r)=27-3\pi r^2=0~;\\\\3\pi r^2=27~;\\\\r^2=\dfrac 9{\pi}~;\\\\r=\dfrac 3{\sqrt\pi}\approx 1.69\mbox{ m}

Veamos si este punto crítico corresponde a un máximo utilizando el test de la derivada segunda:

V''(r)=-6\pi r~;\\\\V''(\frac 3{\sqrt\pi})<0

Luego en r=\dfrac 3{\sqrt\pi} la función V alcanza un máximo.

Nos queda calcular el valor de la altura h del cilindro:

h=\dfrac{27-\pi (\frac 3{\sqrt\pi})^2}{\pi \frac 3{\sqrt\pi}}=\dfrac{27-9}{3\sqrt{\pi}}=\dfrac 6{\sqrt\pi}\approx 3.38\mbox{ m}

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