Sea la función definida por
, donde ln denota la función logaritmo neperiano.
a) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, el eje OY y la recta y=1. Calcula los puntos de corte de las gráficas.
b) Halla el área del recinto anterior.
Solución:
a) Partimos de la gráfica de la función elemental . De ella sabemos que es una función definida en
, estrictamente creciente, con asíntota vertical
, sin asíntota horizontal, pasa por el punto (1,0) y siempre cóncava:

La función no es más que una traslación horizontal de la anterior hacia la izquierda de una unidad
La recta y=1 es una recta horizontal que pasa por el punto (0,1).
La función f y la recta y=1 se cortan en:
El punto de corte de ambas funciones es (e-1,1)
Sabiendo esto, el esbozo de la gráfica pedida es semejante a la siguiente figura.
b) Nos piden calcular el área de la región sombreada de la gráfica anterior.
Calculamos por separado la integral con el método de integración por partes:
Luego:
Esta última integral es de tipo racional. Como el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador hacemos la división de ambos polinomios y escribimos la integral en la forma:
Luego:
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