Sea 
a) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, el eje OY y la recta y=1. Calcula los puntos de corte de las gráficas.
b) Halla el área del recinto anterior.
Solución:
a) Partimos de la gráfica de la función elemental 
La función
La recta y=1 es una recta horizontal que pasa por el punto (0,1).
La función f y la recta y=1 se cortan en:
El punto de corte de ambas funciones es (e-1,1)
Sabiendo esto, el esbozo de la gráfica pedida es semejante a la siguiente figura.
b) Nos piden calcular el área de la región sombreada de la gráfica anterior.
Calculamos por separado la integral 
Luego:
![\displaystyle S=\int_0^{e-1}1-\ln(x+1)~dx=\int_0^{e-1}1~dx-\int_0^{e-1}\ln(x+1)~dx=\\\\=[x]_0^{e-1}-\left[x\ln(x+1\right]_0^{e-1}+\int_0^{e-1}\frac x{x+1}~dx](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5Cint_0%5E%7Be-1%7D1-%5Cln%28x%2B1%29%7Edx%3D%5Cint_0%5E%7Be-1%7D1%7Edx-%5Cint_0%5E%7Be-1%7D%5Cln%28x%2B1%29%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Bx%5D_0%5E%7Be-1%7D-%5Cleft%5Bx%5Cln%28x%2B1%5Cright%5D_0%5E%7Be-1%7D%2B%5Cint_0%5E%7Be-1%7D%5Cfrac+x%7Bx%2B1%7D%7Edx&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle S=\int_0^{e-1}1-\ln(x+1)~dx=\int_0^{e-1}1~dx-\int_0^{e-1}\ln(x+1)~dx=\\\\=[x]_0^{e-1}-\left[x\ln(x+1\right]_0^{e-1}+\int_0^{e-1}\frac x{x+1}~dx")
Esta última integral es de tipo racional. Como el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador hacemos la división de ambos polinomios y escribimos la integral en la forma:
Luego:
![\displaystyle S=[x]_0^{e-1}-\left[x\ln(x+1\right]_0^{e-1}+\int_0^{e-1}\frac x{x+1}~dx=\\\\=[x]_0^{e-1}-\left[x\ln(x+1\right]_0^{e-1}+[x-\ln(x+1)]_0^{e-1}=\\\\=\Big[2x-(x+1)\ln(x+1)\Big]_0^{e-1}=\\\\=\Big(2(e-1)-(e-1+1)\ln(e-1+1)\Big)-(0-1\cdot0)=\\\\=2e-2-e\ln e=e-2\mbox{ u.a.}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5Bx%5D_0%5E%7Be-1%7D-%5Cleft%5Bx%5Cln%28x%2B1%5Cright%5D_0%5E%7Be-1%7D%2B%5Cint_0%5E%7Be-1%7D%5Cfrac+x%7Bx%2B1%7D%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Bx%5D_0%5E%7Be-1%7D-%5Cleft%5Bx%5Cln%28x%2B1%5Cright%5D_0%5E%7Be-1%7D%2B%5Bx-%5Cln%28x%2B1%29%5D_0%5E%7Be-1%7D%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5CBig%5B2x-%28x%2B1%29%5Cln%28x%2B1%29%5CBig%5D_0%5E%7Be-1%7D%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5CBig%282%28e-1%29-%28e-1%2B1%29%5Cln%28e-1%2B1%29%5CBig%29-%280-1%5Ccdot0%29%3D%5C%5C%5C%5C%3D2e-2-e%5Cln+e%3De-2%5Cmbox%7B+u.a.%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle S=[x]_0^{e-1}-\left[x\ln(x+1\right]_0^{e-1}+\int_0^{e-1}\frac x{x+1}~dx=\\\\=[x]_0^{e-1}-\left[x\ln(x+1\right]_0^{e-1}+[x-\ln(x+1)]_0^{e-1}=\\\\=\Big[2x-(x+1)\ln(x+1)\Big]_0^{e-1}=\\\\=\Big(2(e-1)-(e-1+1)\ln(e-1+1)\Big)-(0-1\cdot0)=\\\\=2e-2-e\ln e=e-2\mbox{ u.a.}")
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