Dado el sistema de ecuaciones lineales
a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ.
b) Resuelve el sistema para λ=0.
Solución:
a) Para clasificar un sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Primero escribimos las matrices de coeficientes y la matriz ampliada:
Calculamos el rango de M en primer lugar:
determinante que tiene por raíces λ=0 y λ=1. Por tanto:
- Si λ≠0 y λ≠1, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
- Si λ=0, entonces
cuyo rango es 2 ya que
.
Veamos el rango de la matriz ampliada:
por lo que rg(M*)=2, y el sistema es compatible indeterminado. - Si λ=1, entonces
cuyo rango es 2 ya que
.
Ahora calculamos el rango de la matriz ampliada:
Por tanto, en este caso el rango de la matriz ampliada es 3, y el sistema es incompatible.
b) En el caso λ=0 el sistema original es equivalente a
que resolveremos con el cambio .
Luego la solución del sistema es:
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