Problema 323

Dado el sistema de ecuaciones lineales

$\left\{\begin{array}{ccccccc}-\lambda x&+&y&+&z&=&1\\x&+&\lambda y&+&z&=&2\\\lambda x&+&y&+&z&=&1\end{array}\right.$

a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ.

b) Resuelve el sistema para λ=0.

Solución:

a) Para clasificar un sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Primero escribimos las matrices de coeficientes y la matriz ampliada:

$M=\begin{pmatrix}-\lambda&1&1\\1&\lambda&1\\\lambda&1&1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}-\lambda&1&1&1\\1&\lambda&1&2\\\lambda&1&1&1\end{pmatrix}$

Calculamos el rango de M en primer lugar:

$\begin{vmatrix}-\lambda&1&1\\1&\lambda&1\\\lambda&1&1\end{vmatrix}=-\lambda^2+\lambda+1-\lambda^2-1+\lambda=-2\lambda^2+2\lambda=-2\lambda(\lambda-1)$

determinante que tiene por raíces λ=0 y λ=1. Por tanto:

Si λ≠0 y λ≠1, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
Si λ=0, entonces $M=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}$ cuyo rango es 2 ya que $\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}\neq0$ .
Veamos el rango de la matriz ampliada:
$\begin{vmatrix}0&1&1\\1&0&2\\0&1&1\end{vmatrix}=0$
por lo que rg(M*)=2, y el sistema es compatible indeterminado.
Si λ=1, entonces $M=\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$ cuyo rango es 2 ya que $\begin{vmatrix}-1&1\\1&1\end{vmatrix}\neq0$ .
Ahora calculamos el rango de la matriz ampliada:
$\begin{vmatrix}-1&1&1\\1&1&2\\1&1&1\end{vmatrix}=2\neq 0$
Por tanto, en este caso el rango de la matriz ampliada es 3, y el sistema es incompatible.