Problema 323

Dado el sistema de ecuaciones lineales

\left\{\begin{array}{ccccccc}-\lambda x&+&y&+&z&=&1\\x&+&\lambda y&+&z&=&2\\\lambda x&+&y&+&z&=&1\end{array}\right.

a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ.

b) Resuelve el sistema para λ=0.


Solución:

a) Para clasificar un sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Primero escribimos las matrices de coeficientes y la matriz ampliada:

M=\begin{pmatrix}-\lambda&1&1\\1&\lambda&1\\\lambda&1&1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}-\lambda&1&1&1\\1&\lambda&1&2\\\lambda&1&1&1\end{pmatrix}

Calculamos el rango de M en primer lugar:

\begin{vmatrix}-\lambda&1&1\\1&\lambda&1\\\lambda&1&1\end{vmatrix}=-\lambda^2+\lambda+1-\lambda^2-1+\lambda=-2\lambda^2+2\lambda=-2\lambda(\lambda-1)

determinante que tiene por raíces λ=0 y λ=1. Por tanto:

  • Si λ≠0 y λ≠1, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si λ=0, entonces M=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}\neq0.
    Veamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}0&1&1\\1&0&2\\0&1&1\end{vmatrix}=0
    por lo que rg(M*)=2, y el sistema es compatible indeterminado.
  • Si λ=1, entonces M=\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}-1&1\\1&1\end{vmatrix}\neq0.
    Ahora calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}-1&1&1\\1&1&2\\1&1&1\end{vmatrix}=2\neq 0
    Por tanto, en este caso el rango de la matriz ampliada es 3, y el sistema es incompatible.

b) En el caso λ=0 el sistema original es equivalente a

\left\{\begin{array}{ccccccc}&&y&+&z&=&1\\x&&&+&z&=&2\end{array}\right.

que resolveremos con el cambio z=\alpha.

\left\{\begin{array}{ccccc}&&y&=&1-\alpha\\x&&&=&2-\alpha\end{array}\right.

Luego la solución del sistema es:

\left\{\begin{array}{l}x=2-\alpha\\y=1-\alpha\\z=\alpha\end{array}\right.

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