Problema 324

Determina el punto simétrico del punto P(-3,1,6) respecto de la recta r de ecuaciones x-1=\dfrac{y+3}2=\dfrac{z+1}2


Solución:

Construimos un plano π que sea perpendicular a la recta y que pase por P.
Como el vector director de la recta es \vec v_r=(1,2,2), ese es también el vector normal del plano \vec n_\pi=(1,2,2). El plano π es x+2y+2z+D=0.
Imponemos que este plano pase por P sustituyendo las coordenadas del punto en la ecuación del plano y calculamos D:

-3+2\cdot 1+2\cdot 6+D=0~;\\\\-3+2+12+D=0~;\\\\D=-11

Luego el plano es \pi:~x+2y+2z-11=0p52Ahora calculamos el punto M donde el plano se corta con la recta sustituyendo las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=1+\lambda\\y=-3+2\lambda\\z=-1+2\lambda\end{array}\right.

1+\lambda+2(-3+2\lambda)+2(-1+2\lambda)-11=0~;\\\\9\lambda-18=0~;\\\\\lambda=2

Con este valor de λ sustituimos en las paramétricas de r y obtenemos M: (3,1,3).

Por último, M es el punto medio entre P y su simétrico P´, luego:

M=\dfrac{P+P'}2~;\\\\P'=2M-P=(6,2,6)-(-3,1,6)=(9,1,0)

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