Problema 325

Sea f:~[1,+\infty)\rightarrow\mathbb R la función definida por f(x)=\sqrt{x-1}. Determina el punto P de la gráfica de f que se encuentra a menor distancia del punto A(2,0). ¿Cuál es esa distancia?


Solución:

La función a optimizar es la distancia de A hasta un punto P de f cuyas coordenadas son (x,\sqrt{x-1}). La función distancia es:

d(A,P)=\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x-1})^2}=\sqrt{x^2+4-4x+x-1}=\\\\=\sqrt{x^2-3x+3}=d(x)

Calculamos los puntos críticos de esta función:

d'(x)=\dfrac 1{\sqrt{x^2-3x+3}}\cdot (2x-3)=0~;\\\\2x-3=0~;\\\\x=\dfrac 32

Veamos si este punto crítico corresponde a un máximo o a un mínimo estudiando la monotonía en torno a él, teniendo en cuenta que el signo de d'(x) es igual al signo de 2x-3 y que el dominio de d(x) es \mathbb R:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,\frac 32)&(\frac 32,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

Luego la función distancia d(x) alcanza un mínimo en el punto:

P=(\frac 32,\sqrt{\frac 32-1})=(\frac 32,\sqrt{\frac 12})=(\frac 32,\frac{\sqrt{2}}2)

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