Problema 325

Sea $f:~[1,+\infty)\rightarrow\mathbb R$ la función definida por $f(x)=\sqrt{x-1}$ . Determina el punto P de la gráfica de f que se encuentra a menor distancia del punto A(2,0). ¿Cuál es esa distancia?

Solución:

La función a optimizar es la distancia de A hasta un punto P de f cuyas coordenadas son $(x,\sqrt{x-1})$ . La función distancia es:

$d(A,P)=\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x-1})^2}=\sqrt{x^2+4-4x+x-1}=\\\\=\sqrt{x^2-3x+3}=d(x)$

Calculamos los puntos críticos de esta función:

$d'(x)=\dfrac 1{\sqrt{x^2-3x+3}}\cdot (2x-3)=0~;\\\\2x-3=0~;\\\\x=\dfrac 32$

Veamos si este punto crítico corresponde a un máximo o a un mínimo estudiando la monotonía en torno a él, teniendo en cuenta que el signo de $d'(x)$ es igual al signo de $2x-3$ y que el dominio de $d(x)$ es $\mathbb R$ :

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,\frac 32)&(\frac 32,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}$