Problema 326

Halla:

\displaystyle \int\frac{e^x}{(e^{2x}-1)(e^x+1)}~dx

Sugerencia: efectúa el cambio de variable t=e^x.


Solución:

Hacemos el cambio de variable sugerido:

t=e^x~;\ln(t)=x~;\\\\dx=\dfrac 1t~dt

Entonces:

\displaystyle I=\int\frac{e^x}{(e^{2x}-1)(e^x+1)}~dx=\displaystyle \int\frac{t}{(t^2-1)(t+1)}~\frac 1t~dt=\\\\=\int\frac 1{(t-1)(t+1)(t+1)}~dt=\int\frac 1{(t-1)(t+1)^2}~dt

Se trata de una integral racional. Descomponemos la última fracción de la siguiente forma:

\dfrac 1{(t-1)(t+1)^2}=\dfrac A{t-1}+\dfrac B{t+1}+\dfrac C{(t+1)^2}=\dfrac{A(t+1)^2+B(t-1)(t+1)+C(t-1)}{(t-1)(t+1)^2}

de donde obtenemos la ecuación

1=A(t+1)^2+B(t-1)(t+1)+C(t-1)

Damos valores arbitrarios a t para obtener los valores de los parámetros A, B y C:

  • Para t=1
    1=4A\longrightarrow A=\frac 14
  • Para t=-1
    1=-2C\longrightarrow C=\frac{-1}2
  • Para t=0
    1=A-B-C de donde B=A-C-1=\frac{-1}4

Retomamos la integral y la escribimos en la forma descompuesta:

\displaystyle \int\frac 1{(t-1)(t+1)^2}~dt=\int\frac{\frac 14}{t-1}~dt+\int\frac{\frac{-1}4}{t+1}~dt+\int\frac{\frac{-1}2}{(t+1)^2}~dt=\\\\=\frac 14\ln|t-1|-\frac 14\ln|t+1|-\frac 12\int(t+1)^{-2}~dt=\\\\=\frac 14\ln\left|\dfrac{t-1}{t+1}\right|-\frac 12\frac{(t+1)^{-1}}{-1}=\\\\=\frac 14\ln\left|\dfrac{t-1}{t+1}\right|+\frac 12\frac 1{t+1}+k

Deshaciendo el cambio de variable:

\displaystyle I=\frac 14\ln\left|\dfrac{t-1}{t+1}\right|+\frac 12\frac 1{t+1}=\\\\=\frac 14\ln\left|\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\right|+\frac 12\frac 1{e^x+1}+k

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