Problema 327

Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat II

Dada la matriz A=\begin{pmatrix}\lambda+1&0\\1&-1\end{pmatrix}

a) Determina los valores de λ para los que la matriz A^2+3A no tiene inversa.

b) Para λ=0, halla la matriz X que verifica la ecuación AX+A=2I, siendo I la matriz identidad de orden 2.

Solución:

a) Para que una matriz no tenga inversa su determinante ha de ser igual a 0:

A^2+3A=\begin{pmatrix}\lambda+1&0\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda+1&0\\1&-1\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}\lambda+1&0\\1&-1\end{pmatrix}=\\\\=\begin{pmatrix}(\lambda+1)^2&0\\\lambda&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\lambda+3&0\\3&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda^2+5\lambda+4&0\\\lambda+3&-2\end{pmatrix}

|A^2+3A|=\begin{vmatrix}\lambda^2+5\lambda+4&0\\\lambda+3&-2\end{vmatrix}=-2\lambda^2-10\lambda-8

Igualando a 0 este determinante y resolviendo obtenemos las raíces λ=-1 y λ=-4.
Para esos dos valores de λ la matriz A^2+3A no tiene inversa.

b) De la ecuación matricial AX+A=2I despejamos la matriz X:

AX+A=2I~;\\\\AX=2I-A~;\\\\X=A^{-1}(2I-A)=2A^{-1}-A^{-1}A~;\\\\X=2A^{-1}-I

Para λ=0, A=\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}.
Calculamos la matriz inversa de A utilizando la siguiente fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac 1{|A|}(\mbox{Adj}A)^t}

|A|=\begin{vmatrix}1&0\\1&-1\end{vmatrix}=-1

\mbox{Adj}A=\begin{pmatrix}-1&-1\\0&1\end{pmatrix}

A^{-1}=\dfrac 1{-1}\begin{pmatrix}-1&0\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}

Luego

X=2A^{-1}-I=\begin{pmatrix}2&0\\2&-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\2&-3\end{pmatrix}

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