Problema 328

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Considera los puntos A(1,0,-1) y B(2,1,0), y la recta r dada por

\left\{\begin{array}{l}x+y=1\\x+z=2\end{array}\right.

a) Determina la ecuación del plano que es paralelo a r y pasa por A y B.

b) Determina si la recta que pasa por los puntos P(1,2,1) y Q(3,4,1) está contenida en dicho plano.

Solución:

a) Escribimos la recta r en forma paramétrica haciendo el cambio x=λ:

\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=1-\lambda\\z=2-\lambda\end{array}\right.

Calculamos el vector \overrightarrow{AB}=(2,1,0)-(1,0,-1)=(1,1,1).

El plano π que nos piden esta formado por el punto A, y los vectores \overrightarrow{AB} y \vec v_r=(1,-1,-1).

\begin{vmatrix}x-1&y&z+1\\1&1&1\\1&-1&-1\end{vmatrix}=-x+1+y-z-1-z-1+y+x-1=2y-2z-2

Igualando a 0 y simplificando obtenemos la ecuación del plano π buscado:

\pi\equiv y-z-1=0

b) Si la recta que pasa por P y Q estuviera contenida en el plano π, entonces P y Q también estarían contenidos en dicho plano.
Sustituyendo las coordenadas de ambos puntos en la ecuación implícita del plano comprobaremos si están contenidos en dicho plano:

  • P(1,2,1) en \pi\equiv y-z-1=0
    2-1-1=0 ✔️
  • Q(3,4,1) en \pi\equiv y-z-1=0
    4-1-1=2=0 ✖️

El punto Q no pertenece al plano, por tanto, la recta que pasa por P y Q tampoco.

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