Problema 329

Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat II

Halla los coeficientes a, b y c sabiendo que la función f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R definida por f(x)=x^3+ax^2+bx+c tiene en x=1 un punto de derivada nula que no es extremo relativo y que la gráfica de f pasa por el punto (1,1).

Solución:

De la función f sabemos que:

  • f'(1)=0
  • f(1)=1

Que en x=1 la derivada sea nula pero no sea un extremo significa que es un punto de inflexión, de donde:

  • f''(1)=0

Entonces:

f(1)=1+a+b+c=1\\\\f'(x)=3x^2+2ax+b\longrightarrow f'(1)=3+2a+b=0\\\\f''(x)=6x+2a\longrightarrow f''(1)=6+2a=0

Tenemos así un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

\left\{\begin{array}{l}1+a+b+c=1\\3+2a+b=0\\6+2a=0\end{array}\right.

Donde a=-3, b=3 y c=0.

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