Considera las funciones dadas por y .

a) Esboza el recinto limitado por las gráficas de f y g y calcula los puntos de corte de dichas gráficas.

b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.

Solución:

a) La función f es una función cuadrática que gráficamente se representa por una parábola cóncava que corta al eje x en los puntos (0,0) y (6,0), y vértice en (3,9).

La función es otra función cuadrática que gráficamente es otra parábola convexa que corta al eje x en los puntos (0,0) y (2,0). Esta parábola toma valores negativos en los puntos del intervalo (0,2). Tiene vértice en (1,-1).
La función g no es más que esta función pero en valor absoluto, por lo que en el intervalo (0,2) donde la parábola toma valores negativos, se cambia el signo y ese trozo de parábola se vuelve positivo y cóncavo. El vértice pasa a ser (1,1).

Con todos estos datos podemos hacer un esbozo semejante a la siguiente gráfica:

La función g se puede escribir como función a trozos quedando de la siguiente manera:

Calculamos donde se cortan ambas funciones f y g:

Ecuación cuyas soluciones son x=0 y x=4. Los puntos de corte son (0,0) y (4,8).
Veamos si se cortan también f con la parte cóncava de g:

Ecuación cuya única solución es x=0 y que da lugar al punto de corte (0,0) antes mencionado.

b) Hemos de calcular el área S de la región sombreada en la figura anterior. Lo haremos utilizando el cálculo integral:

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