Considera las funciones 
a) Esboza el recinto limitado por las gráficas de f y g y calcula los puntos de corte de dichas gráficas.
b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.
Solución:
a) La función f es una función cuadrática que gráficamente se representa por una parábola cóncava que corta al eje x en los puntos (0,0) y (6,0), y vértice en (3,9).
La función 
La función g no es más que esta función pero en valor absoluto, por lo que en el intervalo (0,2) donde la parábola toma valores negativos, se cambia el signo y ese trozo de parábola se vuelve positivo y cóncavo. El vértice pasa a ser (1,1).
Con todos estos datos podemos hacer un esbozo semejante a la siguiente gráfica:
La función g se puede escribir como función a trozos quedando de la siguiente manera:
Calculamos donde se cortan ambas funciones f y g:
Ecuación cuyas soluciones son x=0 y x=4. Los puntos de corte son (0,0) y (4,8).
Veamos si se cortan también f con la parte cóncava de g:
Ecuación cuya única solución es x=0 y que da lugar al punto de corte (0,0) antes mencionado.
b) Hemos de calcular el área S de la región sombreada en la figura anterior. Lo haremos utilizando el cálculo integral:
![\displaystyle S=\int_0^2(6x-x^2)-(2x-x^2)~dx+\int_2^4(6x-x^2)-(x^2-2x)~dx=\\\\=\int_0^24x~dx+\int_2^48x-2x^2~dx=\\\\=\left[2x^2\right]_0^2+\left[4x^2-\dfrac{2x^3}3\right]_2^4=\\\\=[8-0]+\left[\left(64-\dfrac{128}3\right)-\left(16-\dfrac{16}3\right)\right]=\\\\=\dfrac{24+192-128-48+16}3=\dfrac{56}3\mbox{ u.a.}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5Cint_0%5E2%286x-x%5E2%29-%282x-x%5E2%29%7Edx%2B%5Cint_2%5E4%286x-x%5E2%29-%28x%5E2-2x%29%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cint_0%5E24x%7Edx%2B%5Cint_2%5E48x-2x%5E2%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%5B2x%5E2%5Cright%5D_0%5E2%2B%5Cleft%5B4x%5E2-%5Cdfrac%7B2x%5E3%7D3%5Cright%5D_2%5E4%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5B8-0%5D%2B%5Cleft%5B%5Cleft%2864-%5Cdfrac%7B128%7D3%5Cright%29-%5Cleft%2816-%5Cdfrac%7B16%7D3%5Cright%29%5Cright%5D%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cdfrac%7B24%2B192-128-48%2B16%7D3%3D%5Cdfrac%7B56%7D3%5Cmbox%7B+u.a.%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle S=\int_0^2(6x-x^2)-(2x-x^2)~dx+\int_2^4(6x-x^2)-(x^2-2x)~dx=\\\\=\int_0^24x~dx+\int_2^48x-2x^2~dx=\\\\=\left[2x^2\right]_0^2+\left[4x^2-\dfrac{2x^3}3\right]_2^4=\\\\=[8-0]+\left[\left(64-\dfrac{128}3\right)-\left(16-\dfrac{16}3\right)\right]=\\\\=\dfrac{24+192-128-48+16}3=\dfrac{56}3\mbox{ u.a.}")
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