Problema 330

Considera las funciones f,\,g:\mathbb R\rightarrow\mathbb R dadas por f(x)=6x-x^2 y g(x)=|x^2-2x|.

a) Esboza el recinto limitado por las gráficas de f y g y calcula los puntos de corte de dichas gráficas.

b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.


Solución:

a) La función f es una función cuadrática que gráficamente se representa por una parábola cóncava que corta al eje x en los puntos (0,0) y (6,0), y vértice en (3,9).

La función y=x^2-2x es otra función cuadrática que gráficamente es otra parábola convexa que corta al eje x en los puntos (0,0) y (2,0). Esta parábola toma valores negativos en los puntos del intervalo (0,2). Tiene vértice en (1,-1).
La función g no es más que esta función pero en valor absoluto, por lo que en el intervalo (0,2) donde la parábola toma valores negativos, se cambia el signo y ese trozo de parábola se vuelve positivo y cóncavo. El vértice pasa a ser (1,1).

Con todos estos datos podemos hacer un esbozo semejante a la siguiente gráfica:

p330La función g se puede escribir como función a trozos quedando de la siguiente manera:

g(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x^2-2x&\mbox{si}&x\leq0\\2x-x^2&\mbox{si}x\in(0,2)\\x^2-2x&\mbox{si}&x\geq2\end{array}\right.

Calculamos donde se cortan ambas funciones f y g:

6x-x^2=x^2-2x~;\\\\2x^2-8x=0~;\\\\2x(x-4)=0

Ecuación cuyas soluciones son x=0 y x=4. Los puntos de corte son (0,0) y (4,8).
Veamos si se cortan también f con la parte cóncava de g:

6x-x^2=2x-x^2~;\\\\4x=0

Ecuación cuya única solución es x=0 y que da lugar al punto de corte (0,0) antes mencionado.


b) Hemos de calcular el área S de la región sombreada en la figura anterior. Lo haremos utilizando el cálculo integral:

\displaystyle S=\int_0^2(6x-x^2)-(2x-x^2)~dx+\int_2^4(6x-x^2)-(x^2-2x)~dx=\\\\=\int_0^24x~dx+\int_2^48x-2x^2~dx=\\\\=\left[2x^2\right]_0^2+\left[4x^2-\dfrac{2x^3}3\right]_2^4=\\\\=[8-0]+\left[\left(64-\dfrac{128}3\right)-\left(16-\dfrac{16}3\right)\right]=\\\\=\dfrac{24+192-128-48+16}3=\dfrac{56}3\mbox{ u.a.}

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s