Problema 331

Considera el siguiente sistema de ecuaciones

$\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&2y&+&(m+3)z&=&3\\x&+&y&+&z&=&3m\\2x&+&4y&+&3(m+1)z&=&8\end{array}\right.$

a) Discútelo según los valores del parámetro m.

b) Resuelve el sistema para m=-2.

Solución:

a) Para discutir el sistema utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos por escribir las matrices de coeficientes y ampliada:

$M=\begin{pmatrix}1&2&m+3\\1&1&1\\2&4&3(m+1)\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&2&m+3&3\\1&1&1&3m\\2&4&3(m+1)&8\end{pmatrix}$

Primero calculamos el determinante de M:

$\begin{vmatrix}1&2&m+3\\1&1&1\\2&4&3(m+1)\end{vmatrix}=3(m+1)+4+4(m+3)-2(m+3)-6(m+1)-4=\\\\=3m+3+4+4m+12-2m-6-6m-6-4=-m+3$

determinante cuya raíz es m=3.

Si m≠3, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n. En este caso el sistema es compatible determinado.
Si m=3, entonces $M=\begin{pmatrix}1&2&6\\1&1&1\\2&4&12\end{pmatrix}$ cuyo rango es 2 ya que $\begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}\neq0$ .
Veamos cual es el rango de M*:
$\begin{vmatrix}1&2&3\\1&1&9\\2&4&8\end{vmatrix}=8+36+12-6-16-36=-2$
Por lo que el sistema es incompatible.