Problema 331

Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&2y&+&(m+3)z&=&3\\x&+&y&+&z&=&3m\\2x&+&4y&+&3(m+1)z&=&8\end{array}\right.

a) Discútelo según los valores del parámetro m.

b) Resuelve el sistema para m=-2.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos por escribir las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&2&m+3\\1&1&1\\2&4&3(m+1)\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&2&m+3&3\\1&1&1&3m\\2&4&3(m+1)&8\end{pmatrix}

Primero calculamos el determinante de M:

\begin{vmatrix}1&2&m+3\\1&1&1\\2&4&3(m+1)\end{vmatrix}=3(m+1)+4+4(m+3)-2(m+3)-6(m+1)-4=\\\\=3m+3+4+4m+12-2m-6-6m-6-4=-m+3

determinante cuya raíz es m=3.

  • Si m≠3, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n. En este caso el sistema es compatible determinado.
  • Si m=3, entonces M=\begin{pmatrix}1&2&6\\1&1&1\\2&4&12\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}\neq0.
    Veamos cual es el rango de M*:
    \begin{vmatrix}1&2&3\\1&1&9\\2&4&8\end{vmatrix}=8+36+12-6-16-36=-2
    Por lo que el sistema es incompatible.

b) Para m=-2, el sistema es compatible determinado. Escribimos el sistema:

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&2y&+&z&=&3\\x&+&y&+&z&=&-6\\2x&+&4y&-&3z&=&8\end{array}\right.

Resolvemos este sistema compatible determinado utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}3&2&1\\-6&1&1\\8&4&-3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&1\\1&1&1\\2&4&-3\end{vmatrix}}=\dfrac{-73}5

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&3&1\\1&-6&1\\2&8&-3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&1\\1&1&1\\2&4&-3\end{vmatrix}}=9

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&2&3\\1&1&-6\\2&4&8\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&1\\1&1&1\\2&4&-3\end{vmatrix}}=\dfrac{-2}5

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s