Considera los puntos P(1,0,-1), Q(2,1,1) y la recta r dada por
a) Determina el punto simétrico de P respecto de r.
b) Calcula el punto de r que equidista de P y Q.
Solución:
a) Construimos un plano π perpendicular a r.
Como r tiene por vector director 
Este plano ha de pasa por P:
Y así ya tenemos el plano π:
Este plano π corta a r en el punto M.
Calculamos dicho punto sustituyendo las paramétricas de r en la implícita del plano π: 
Sustituyendo ese valor de λ en las paramétricas de la recta r se obtiene las coordenadas del punto M: (4,-1,0).
El punto M es el punto medio entre P y su simétrico. Podemos ya calcular el punto simétrico de P simplemente aplicando la fórmula del punto medio:
b) Calculamos el plano mediatriz α entre P y Q. Este plano tiene por vector normal el vector
por lo que su ecuación normal viene siendo 
También pasa por el punto medio N entre P y Q.
Sustituimos las coordenadas en la implícita del plano:
Por lo que el plano α es 
El punto que nos piden es la intersección entre r y α. Para calcular dicho punto sustituimos las paramétricas de r en la implícita del α:
Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de la recta r, obtenemos el punto pedido A:
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