Problema 332

Considera los puntos P(1,0,-1), Q(2,1,1) y la recta r dada por

x-5=y=\dfrac{z+2}{-2}

a) Determina el punto simétrico de P respecto de r.

b) Calcula el punto de r que equidista de P y Q.


Solución:

a) Construimos un plano π perpendicular a r.
Como r tiene por vector director \vec v_r=(1,1,-2), entonces el plano π es x+y-2z+D=0.

Este plano ha de pasa por P:

1+0-2\cdot(-1)+D=0~;\\\\1+2+D=0~;\\\\D=-3

Y así ya tenemos el plano π: x+y-2z-3=0

p52Este plano π corta a r en el punto M.
Calculamos dicho punto sustituyendo las paramétricas de r en la implícita del plano π: x+y-2z-3=0:

\left\{\begin{array}{l}x=5+\lambda\\y=\lambda\\z=-2-2\lambda\end{array}\right.

5+\lambda+\lambda-2(-2-2\lambda)-3=0~;\\\\6+6\lambda=0~;\\\\\lambda=-1

Sustituyendo ese valor de λ en las paramétricas de la recta r se obtiene las coordenadas del punto M: (4,-1,0).

El punto M es el punto medio entre P y su simétrico. Podemos ya calcular el punto simétrico de P simplemente aplicando la fórmula del punto medio:

M=\dfrac{P+P'}2~;\\\\P'=2M-P=2(4,-1,0)-(1,0,-1)=(7,-2,1)


b) Calculamos el plano mediatriz α entre P y Q. Este plano tiene por vector normal el vector \overrightarrow{PQ}

\vec v_n=\overrightarrow{PQ}=(2,1,1)-(1,0,-1)=(1,1,2)

por lo que su ecuación normal viene siendo x+y+2z+D=0.
También pasa por el punto medio N entre P y Q.

N=\dfrac{P+Q}2=\dfrac{(1,0,-1)+(2,1,1)}2=\dfrac{(3,1,0)}2=(\frac 32,\frac 12,0)

Sustituimos las coordenadas en la implícita del plano:

\frac 32+\frac 12+2\cdot0+D=0~;\\\\D=-2

Por lo que el plano α es x+y+2z-2=0.

El punto que nos piden es la intersección entre r y α. Para calcular dicho punto sustituimos las paramétricas de r en la implícita del α:

5+\lambda+\lambda+2(-2-2\lambda)-2=0~;\\\\-1-2\lambda=0~;\\\\\lambda=\frac{-1}2

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de la recta r, obtenemos el punto pedido A:

A=(5+\frac{-1}2,\frac{-1}2,-2-2\frac{-1}2)=(\frac 92,\frac{-1}2,-1)

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s