Problema 332

Considera los puntos P(1,0,-1), Q(2,1,1) y la recta r dada por

$x-5=y=\dfrac{z+2}{-2}$

a) Determina el punto simétrico de P respecto de r.

b) Calcula el punto de r que equidista de P y Q.

Solución:

a) Construimos un plano π perpendicular a r.
Como r tiene por vector director $\vec v_r=(1,1,-2)$ , entonces el plano π es $x+y-2z+D=0$ .

Este plano ha de pasa por P:

$1+0-2\cdot(-1)+D=0~;\\\\1+2+D=0~;\\\\D=-3$

Y así ya tenemos el plano π: $x+y-2z-3=0$

p52 Este plano π corta a r en el punto M.
Calculamos dicho punto sustituyendo las paramétricas de r en la implícita del plano π: $x+y-2z-3=0$ :

$\left\{\begin{array}{l}x=5+\lambda\\y=\lambda\\z=-2-2\lambda\end{array}\right.$

$5+\lambda+\lambda-2(-2-2\lambda)-3=0~;\\\\6+6\lambda=0~;\\\\\lambda=-1$

Sustituyendo ese valor de λ en las paramétricas de la recta r se obtiene las coordenadas del punto M: (4,-1,0).

El punto M es el punto medio entre P y su simétrico. Podemos ya calcular el punto simétrico de P simplemente aplicando la fórmula del punto medio:

$M=\dfrac{P+P'}2~;\\\\P'=2M-P=2(4,-1,0)-(1,0,-1)=(7,-2,1)$

b) Calculamos el plano mediatriz α entre P y Q. Este plano tiene por vector normal el vector $\overrightarrow{PQ}$

$\vec v_n=\overrightarrow{PQ}=(2,1,1)-(1,0,-1)=(1,1,2)$

por lo que su ecuación normal viene siendo $x+y+2z+D=0$ .
También pasa por el punto medio N entre P y Q.

$N=\dfrac{P+Q}2=\dfrac{(1,0,-1)+(2,1,1)}2=\dfrac{(3,1,0)}2=(\frac 32,\frac 12,0)$

Sustituimos las coordenadas en la implícita del plano:

$\frac 32+\frac 12+2\cdot0+D=0~;\\\\D=-2$

Por lo que el plano α es $x+y+2z-2=0$ .

El punto que nos piden es la intersección entre r y α. Para calcular dicho punto sustituimos las paramétricas de r en la implícita del α:

$5+\lambda+\lambda+2(-2-2\lambda)-2=0~;\\\\-1-2\lambda=0~;\\\\\lambda=\frac{-1}2$

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de la recta r, obtenemos el punto pedido A:

$A=(5+\frac{-1}2,\frac{-1}2,-2-2\frac{-1}2)=(\frac 92,\frac{-1}2,-1)$

♦

eMatecs