Problema 333

Determina k\neq 0 sabiendo que la función f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R definida por

\left\{\begin{array}{ccc}3-kx^2&\mbox{si}&x\leq 1\\\\\dfrac 2{kx}&\mbox{si}&x>1\end{array}\right.

es derivable.


Solución:

Para que esta función sea derivable, primero ha de ser continua. Estudiemos la continuidad de esta función en x=1:

  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow1^+}\dfrac 2{kx}=\dfrac 2k
  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow1^-}3-kx^2=3-k
  • f(1)=3-k\cdot 1^2=3-k

Para que esta función sea derivable ha de ser:

\dfrac 2k=3-k~;\\\\2=3k-k^2~;\\\\k^2-3k+2=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son k=2 y k=1.

Estudiamos ahora la derivabilidad de f en x=1 sabiendo que

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}-2kx&\mbox{si}&x<1\\\\\dfrac{-2}{kx^2}&\mbox{si}&x>1\end{array}\right.

  • \displaystyle f'(1^+)=\lim_{x\rightarrow1^+}\dfrac{-2}{kx^2}=\dfrac{-2}k
  • \displaystyle f'(1^-)=\lim_{x\rightarrow1^-}-2kx=-2k

de donde

\dfrac{-2}k=-2k~;\\\\-2=-2k^2~;\\\\k^2=1

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son k=1 y k=-1.

El valor de k que verifican tanto la continuidad como la derivabilidad de f es k=1, y este es el valor de k pedido en el enunciado.

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