Problema 334

Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat II

Considera las funciones f,\,g:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R definidas por f(x)=3-x^2 y g(x)=-\dfrac{x^2}4.

a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=1 y comprueba que también es tangente a la gráfica de g. Determina el punto de tangencia con la gráfica de g.

b) Esboza el recinto limitado por la recta y=4-2x y las gráficas de f y g. Calcula todos los puntos de corte entre las gráficas (y la recta).

c) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Solución:

a) Para calcular la ecuación de la recta tangente a una función f en el punto x=x_0 utilizamos la fórmula:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

En nuestro caso x_0=1 de donde

f(1)=2\\\\f'(x)=-2x\longrightarrow f'(1)=-2

Sustituyendo en la ecuación de la recta tangente obtenemos:

y-2=-2(x-1)~;\\\\y=-2x+4

Comprobemos que esta recta tangente a f también lo es de g. Para ello se tiene que cumplir dos condiciones:

  • Que haya punto de corte entre la recta tangente anterior y g:
    -2x+4=-\dfrac{x^2}4~;\\\\-8x+16=-x^2~;\\\\x^2-8x+16=0~;\\\\(x-4)^2=0~;\\\\x=4
  • Que en dicho punto de corte la pendiente de la recta tangente a g sea la misma que la pendiente de la recta tangente anterior, es decir g'(4)=-2. Veámoslo:
    g'(x)=-\dfrac{2x}4=\dfrac{-x}2~;
    g'(4)=\dfrac{-4}2=-2 ✓

Por tanto, la recta tangente a f en el punto x=1 también lo es de g en el punto x=4.

El punto de tangencia con g es (4,g(4))=(4,-4)

b) La función f(x)=3-x^2 se representa gráficamente como parábola cóncava que  corta al eje x en los puntos (\sqrt3,0) y (-\sqrt3,0), y al eje y en el punto (0,3) que además es el vértice de la parábola.

La función g(x)=-\dfrac{x^2}4 se representa también como otra parábola cóncava menos pronunciada que corta al eje x y al eje y en el punto (0,0), donde también tiene su vértice.

Ambas parábolas se cortan en:

3-x^2=-\dfrac{x^2}4~;\\\\12-4x^2=-x^2~;\\\\3x^2=12~;\\\\x^2=4~;\\\\x=\pm2

Por último, tenemos la recta y=4-2x que es la recta calculada en el apartado anterior y que es tangente a las dos parábolas en los puntos (4,-4) y (1,f(1))=(1,2)

Con todos estos datos podemos hacer el esbozo de la gráfica semejante a la siguiente figura:

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c) La región descrita en el apartado b) aparece de forma sombreada. El área S de dicha región es:

\displaystyle S=\int_1^2(4-2x)-(3-x^2)~dx+\int_2^4(4-2x)-(\frac{-x^2}4)~dx=\\\\=\int_1^21-2x+x^2~dx+\int_2^44-2x+\frac{x^2}4~dx=\\\\=\left[x-x^2+\frac{x^3}3\right]_1^2+\left[4x-x^2+\frac{x^3}{12}\right]_2^4=\\\\=\left(\frac 23-\frac 13\right)+\left(\frac{16}3-\frac{14}3\right)=\frac 33=1\mbox{ u.a.}

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