Considera las funciones 
a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=1 y comprueba que también es tangente a la gráfica de g. Determina el punto de tangencia con la gráfica de g.
b) Esboza el recinto limitado por la recta 
c) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.
Solución:
a) Para calcular la ecuación de la recta tangente a una función f en el punto 
En nuestro caso 
Sustituyendo en la ecuación de la recta tangente obtenemos:
Comprobemos que esta recta tangente a f también lo es de g. Para ello se tiene que cumplir dos condiciones:
- Que haya punto de corte entre la recta tangente anterior y g:
- Que en dicho punto de corte la pendiente de la recta tangente a g sea la misma que la pendiente de la recta tangente anterior, es decir
. Veámoslo:
✓
Por tanto, la recta tangente a f en el punto x=1 también lo es de g en el punto x=4.
El punto de tangencia con g es
b) La función 
La función
Ambas parábolas se cortan en:
Por último, tenemos la recta
Con todos estos datos podemos hacer el esbozo de la gráfica semejante a la siguiente figura:
c) La región descrita en el apartado b) aparece de forma sombreada. El área S de dicha región es:
![\displaystyle S=\int_1^2(4-2x)-(3-x^2)~dx+\int_2^4(4-2x)-(\frac{-x^2}4)~dx=\\\\=\int_1^21-2x+x^2~dx+\int_2^44-2x+\frac{x^2}4~dx=\\\\=\left[x-x^2+\frac{x^3}3\right]_1^2+\left[4x-x^2+\frac{x^3}{12}\right]_2^4=\\\\=\left(\frac 23-\frac 13\right)+\left(\frac{16}3-\frac{14}3\right)=\frac 33=1\mbox{ u.a.}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5Cint_1%5E2%284-2x%29-%283-x%5E2%29%7Edx%2B%5Cint_2%5E4%284-2x%29-%28%5Cfrac%7B-x%5E2%7D4%29%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cint_1%5E21-2x%2Bx%5E2%7Edx%2B%5Cint_2%5E44-2x%2B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D4%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%5Bx-x%5E2%2B%5Cfrac%7Bx%5E3%7D3%5Cright%5D_1%5E2%2B%5Cleft%5B4x-x%5E2%2B%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B12%7D%5Cright%5D_2%5E4%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%28%5Cfrac+23-%5Cfrac+13%5Cright%29%2B%5Cleft%28%5Cfrac%7B16%7D3-%5Cfrac%7B14%7D3%5Cright%29%3D%5Cfrac+33%3D1%5Cmbox%7B+u.a.%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle S=\int_1^2(4-2x)-(3-x^2)~dx+\int_2^4(4-2x)-(\frac{-x^2}4)~dx=\\\\=\int_1^21-2x+x^2~dx+\int_2^44-2x+\frac{x^2}4~dx=\\\\=\left[x-x^2+\frac{x^3}3\right]_1^2+\left[4x-x^2+\frac{x^3}{12}\right]_2^4=\\\\=\left(\frac 23-\frac 13\right)+\left(\frac{16}3-\frac{14}3\right)=\frac 33=1\mbox{ u.a.}")
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