Problema 334

Considera las funciones definidas por y .

a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=1 y comprueba que también es tangente a la gráfica de g. Determina el punto de tangencia con la gráfica de g.

b) Esboza el recinto limitado por la recta y las gráficas de f y g. Calcula todos los puntos de corte entre las gráficas (y la recta).

c) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.


Solución:

a) Para calcular la ecuación de la recta tangente a una función f en el punto utilizamos la fórmula:

En nuestro caso de donde

Sustituyendo en la ecuación de la recta tangente obtenemos:

Comprobemos que esta recta tangente a f también lo es de g. Para ello se tiene que cumplir dos condiciones:

  • Que haya punto de corte entre la recta tangente anterior y g:
  • Que en dicho punto de corte la pendiente de la recta tangente a g sea la misma que la pendiente de la recta tangente anterior, es decir . Veámoslo:

Por tanto, la recta tangente a f en el punto x=1 también lo es de g en el punto x=4.

El punto de tangencia con g es


b) La función se representa gráficamente como parábola cóncava que  corta al eje x en los puntos y , y al eje y en el punto (0,3) que además es el vértice de la parábola.

La función se representa también como otra parábola cóncava menos pronunciada que corta al eje x y al eje y en el punto (0,0), donde también tiene su vértice.

Ambas parábolas se cortan en:

Por último, tenemos la recta que es la recta calculada en el apartado anterior y que es tangente a las dos parábolas en los puntos (4,-4) y

Con todos estos datos podemos hacer el esbozo de la gráfica semejante a la siguiente figura:


c) La región descrita en el apartado b) aparece de forma sombreada. El área S de dicha región es:

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