Problema 335

Algebra II, Selectividad Mat II, Sistemas de ecuaciones II

a) Justifica que es posible hacer un pago de 34.50 euros cumpliendo las siguientes restricciones:

  • utilizando únicamente monedas de 50 céntimos de euro, de 1 euro y de 2 euros.
  • se tienen que utilizar exactamente un total de 30 monedas
  • tiene que haber igual número de monedas de 1 euro como de 50 céntimos y 2 euros juntas.

¿De cuántas maneras y con cuántas monedas de cada tipo se puede hacer el pago?

b) Si se redondea la cantidad a pagar a 35 euros, justifica si es posible o no seguir haciendo el pago bajo las mismas condiciones que en el apartado anterior.

Solución:

a) Sea x el número de monedas de 50 céntimos, y el número de monedas de 1 euro y z el número de monedas de 2 euros.
Nos dan tres restricciones que nos llevan al siguiente sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{array}{ccc}x+y+z&=&30\\y&=&x+z\\0.5x+y+2z&=&34.50\end{array}\right.

Destacar que la primera restricción no da lugar a una ecuación sino que define el número de variables que tendrá el sistema que son x, y y z, y que la tercera ecuación se deduce del principio del enunciado.

Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Reescribimos el sistema multiplicando la tercera ecuación por 2:

\left\{\begin{array}{ccc}x+y+z&=&30\\-x+y-z&=&0\\x+2y+4z&=&69\end{array}\right.

Escribimos las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&1&-1\\1&2&4\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&1&1&30\\-1&1&-1&0\\1&2&4&69\end{pmatrix}

Observamos que el rango de M es 3 ya que |M|=6\neq0, por tanto el rango de M* es también 3.
Dado que n=3, el sistema es compatible determinado, tiene solución única. Calculamos la solución del sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}30&1&1\\0&1&-1\\69&2&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\-1&1&-1\\1&2&4\end{vmatrix}}=\dfrac{42}6=7

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&30&1\\-1&0&-1\\1&69&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\-1&1&-1\\1&2&4\end{vmatrix}}=\dfrac{90}6=15

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&30\\-1&1&0\\1&2&69\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\-1&1&-1\\1&2&4\end{vmatrix}}=\dfrac{48}6=8

La solución del sistema es 7 monedas de 50 céntimos, 15 monedas de 1 euro y 8 monedas de 2 euros.

Se comprueba además que la solución está formada por números naturales. De no ser así, el sistema no tendría solución.

b) Bajo las mismas condiciones del apartado anterior, si el pago a realizar es de 35 euros el sistema cambiaría a

\left\{\begin{array}{ccc}x+y+z&=&30\\-x+y-z&=&0\\0.5x+y+2z&=&35\end{array}\right.\longrightarrow\left\{\begin{array}{ccc}x+y+z&=&30\\-x+y-z&=&0\\x+2y+4z&=&70\end{array}\right.

la matriz de coeficientes M no cambia respecto al apartado anterior, luego el sistema sigue siendo compatible determinado.
Calculemos la solución del sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}30&1&1\\0&1&-1\\70&2&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\-1&1&-1\\1&2&4\end{vmatrix}}=\dfrac{40}6=6.66

Observamos ya que el sistema no tendría solución porque el resultado incluye un número fraccionario de monedas. El número de monedas x, y y z ha de ser un número natural.

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