a) Justifica que es posible hacer un pago de 34.50 euros cumpliendo las siguientes restricciones:
- utilizando únicamente monedas de 50 céntimos de euro, de 1 euro y de 2 euros.
- se tienen que utilizar exactamente un total de 30 monedas
- tiene que haber igual número de monedas de 1 euro como de 50 céntimos y 2 euros juntas.
¿De cuántas maneras y con cuántas monedas de cada tipo se puede hacer el pago?
b) Si se redondea la cantidad a pagar a 35 euros, justifica si es posible o no seguir haciendo el pago bajo las mismas condiciones que en el apartado anterior.
Solución:
a) Sea x el número de monedas de 50 céntimos, y el número de monedas de 1 euro y z el número de monedas de 2 euros.
Nos dan tres restricciones que nos llevan al siguiente sistema de ecuaciones:
Destacar que la primera restricción no da lugar a una ecuación sino que define el número de variables que tendrá el sistema que son x, y y z, y que la tercera ecuación se deduce del principio del enunciado.
Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Reescribimos el sistema multiplicando la tercera ecuación por 2:
Escribimos las matrices de coeficientes y ampliada:
Observamos que el rango de M es 3 ya que 
Dado que n=3, el sistema es compatible determinado, tiene solución única. Calculamos la solución del sistema utilizando la regla de Cramer:
La solución del sistema es 7 monedas de 50 céntimos, 15 monedas de 1 euro y 8 monedas de 2 euros.
Se comprueba además que la solución está formada por números naturales. De no ser así, el sistema no tendría solución.
b) Bajo las mismas condiciones del apartado anterior, si el pago a realizar es de 35 euros el sistema cambiaría a
la matriz de coeficientes M no cambia respecto al apartado anterior, luego el sistema sigue siendo compatible determinado.
Calculemos la solución del sistema utilizando la regla de Cramer:
Observamos ya que el sistema no tendría solución porque el resultado incluye un número fraccionario de monedas. El número de monedas x, y y z ha de ser un número natural.
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