Problema 336

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Considera el punto P(2,-1,3) y el plano π de ecuación 3x+2y+z=5.

a) Calcula el punto simétrico de P respecto de π.

b) Calcula la distancia de P a π.

Solución:

a) Construimos una recta r perpendicular al plano π que pase por P. Por ser perpendicular al plano, el vector director de la recta será proporcional al vector normal del plano \vec v_\pi=(3,2,1). Luego la recta r es:

r:~(x,y,z)=(2,-1,3)+\lambda(3,2,1)

o en paramétricas:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=2+3\lambda\\y=-1+2\lambda\\z=3+\lambda\end{array}\right.

p120Esta recta corta al plano π en el punto M que obtendremos sustituyendo las paramétricas de la recta en la implícita del plano y resolviendo:

3(2+3\lambda)+2(-1+2\lambda)+(3+\lambda)=5~;\\\\6+9\lambda-2+4\lambda+3+\lambda=5~;\\\\14\lambda=-2~;\\\\\lambda=\dfrac{-1}7

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de la recta obtenemos M=(\frac{11}7,-\frac 97,\frac{20}7).

Solo queda calcular el punto P´ simétrico de P con respecto de π sabiendo que M es el punto medio de ambos:

M=\dfrac{P+P'}2~;\\\\P'=2M-P=(\frac 87,-\frac{11}7,\frac{19}7)

b) La fórmula de la distancia entre un punto P=(x_0,y_0,z_0) y un plano \pi:~Ax+By+Cz+D=0 es:

\boxed{d(P,\pi)=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}

En nuestro caso:

d(P,\pi)=\dfrac{|3\cdot 2+2\cdot(-1)+3-5|}{\sqrt{3^2+2^2+1^2}}=\dfrac 2{\sqrt{14}}=\dfrac{\sqrt{14}}7\mbox{ u.l.}

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