Problema 337

Considera la función f:~\mathbb R\longrightarrow\mathbb R definida por

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}ax^2+bx+c&\mbox{si}&x\leq0\\\\\dfrac{e^x-e^{-x}-2x}{x-\mbox{sen}(x)}&\mbox{si}&x>0\end{array}\right.

Determina a, b y c sabiendo que f es continua, alcanza un máximo relativo en x=-1 y la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=-2 tiene pendiente 2.


Solución:

a) Recordamos que para resolver indeterminaciones de tipo 0/0 utilizamos la regla de L’Hôpital.

Por ser continua en x=0 se cumple

  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{e^x-e^{-x}-2x}{x-\mbox{sen}(x)}=\dfrac 00\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{e^x+e^{-x}-2}{1-\cos(x)}=\dfrac 00=\\\\\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{e^x-e^{-x}}{\mbox{sen}(x)}=\dfrac 00\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{e^x+e^{-x}}{\cos(x)}=2
  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow0^-}ax^2+bx+c=c
  • f(0)=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c=c

Por tanto, para que sea continua en x=0 ha de ser c=2.

Por otra parte dicen que hay un máximo relativo en en x=-1, lo cual quiere decir que f'(-1)=0.

(ax^2+bx+c)'=2ax+b\longrightarrow f'(-1)=-2a+b

de donde se obtiene la ecuación -2a+b=0.

Por último, nos dicen que la pendiente de la recta tangente a f en el punto x=-2 es 2, lo cual se traduce en que f'(-2)=2:

(ax^2+bx+c)'=2ax+b\longrightarrow f'(-2)=-4a+b

por lo que -4a+b=2.

Reuniendo las tres ecuaciones obtenemos el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{ccc}c&=&2\\-2a+b&=&0\\-4a+b&=&2\end{array}\right.

cuya solución es a=-1, b=-2 y c=2.

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