Problema 338

Considera la función f definida por f(x)=ax\ln(x)-bx para x>0 (ln denota la función logaritmo neperiano). Determina a y b sabiendo que f tiene un extremo relativo en x=1 y que

\displaystyle \int_1^2f(x)~dx=8\ln(2)-9


Solución:

Por un lado nos dicen que f tiene un extremo relativo en x=1. Eso significa que f'(1)=0.

f'(x)=a\ln(x)+ax\dfrac 1x-b=a\ln(x)+a-b~;\\\\f'(1)=a-b

por lo que a-b=0.

Por otra parte nos dan el dato de la integral. Calculamos dicha integral:

\displaystyle \int_1^2ax\ln(x)-bx~dx=a\underbrace{\int_1^2x\ln(x)~dx}_{(1)}-b\int_1^2x~dx

La integral (1) se resuelve por el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=\ln(x)&\longrightarrow&du=\dfrac 1x~dx\\\\dv=x~dx&\longrightarrow&v=\dfrac{x^2}2\end{array}

\displaystyle a\int_1^2x\ln(x)~dx-b\int_1^2x~dx=\\\\=a\left[\left.\dfrac{x^2}2\cdot\ln(x)\right|_1^2-\int_1^2\dfrac{x^2}2\cdot\dfrac 1x~dx\right]-b\int_1^2x~dx=\\\\=a\left[\left.\dfrac{x^2}2\cdot\ln(x)\right|_1^2-\int_1^2\dfrac x2~dx\right]-b\int_1^2x~dx=\\\\=a\left[\dfrac{x^2}2\cdot\ln(x)-\dfrac{x^2}4\right]_1^2-b\left[\dfrac{x^2}2\right]_1^2=\\\\=a\left[\left(2\ln(2)-1\right)-\left(-\dfrac 14\right)\right]-b\left[2-\dfrac 12\right]=\\\\=2a\ln(2)-\dfrac{3a}4-\dfrac{3b}2

Esta integral debe dar 8\ln(2)-9 por lo que

2a\ln(2)-\dfrac{3a}4-\dfrac{3b}2=8\ln(2)-9

de donde

\left\{\begin{array}{rcc}2a&=&8\\-\dfrac{3a}4-\dfrac{3b}2&=&-9\end{array}\right.

sistema cuya solución es a=4 y b=4. Resultado que además confirma la primera condición del extremo relativo a-b=0.

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