Problema 339

Considera las siguientes matrices

$A=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&-1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}a&b&c\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}$

a) Determina, si existen, los valores de a, b y c para los que las matrices A y B conmutan.

b) Calcula $A^2,\,A^3,\,A^{2017}\mbox{ y }A^{2018}$ .

c) Calcula, si existe, la matriz inversa de A.

Solución:

a) Las matrices A y B conmutan si $AB=BA$

$AB=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&-1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b&c\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\a&b&c\end{pmatrix}$

$BA=\begin{pmatrix}a&b&c\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&1\\0&-1&0\\1&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c&-b&a\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$

Para que ambos productos sean iguales ha de ser a=0, b=0 y c=-1.

b) Calcular:

$A^2=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&-1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&1\\0&-1&0\\1&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I$

$A^3=A^2A=IA=A$

Para calcular $A^{2017}$ dividimos 2017 entre 2 ya que $A^2=I$ . El resto r de la división es tal que $A^{2017}=A^r$ .
En nuestro caso el resto de 2017/2 es 1, por tanto