Problema 339

Considera las siguientes matrices

A=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&-1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}a&b&c\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}

a) Determina, si existen, los valores de a, b y c para los que las matrices A y B conmutan.

b) Calcula A^2,\,A^3,\,A^{2017}\mbox{ y }A^{2018}.

c) Calcula, si existe, la matriz inversa de A.


Solución:

a) Las matrices A y B conmutan si AB=BA

AB=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&-1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b&c\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\a&b&c\end{pmatrix}

BA=\begin{pmatrix}a&b&c\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&1\\0&-1&0\\1&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c&-b&a\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}

Para que ambos productos sean iguales ha de ser a=0, b=0 y c=-1.


b) Calcular:

A^2=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&-1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&1\\0&-1&0\\1&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I

A^3=A^2A=IA=A

Para calcular A^{2017} dividimos 2017 entre 2 ya que A^2=I. El resto r de la división es tal que A^{2017}=A^r.
En nuestro caso el resto de 2017/2 es 1, por tanto

A^{2017}=A^1=A

De la misma forma

A^{2018}=A^0=I


c) Una matriz tiene inversa si su determinante es distinto de 0. En nuestro caso |A|=1 por tanto A tiene inversa.

Sabemos que \boxed{AA^{-1}=I}. Como A^2=AA=I, entonces A^{-1}=A.

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