Problema 340

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II,

Considera las rectas

r\equiv\dfrac{x+1}2=\dfrac y1=\dfrac{z+1}3\qquad s\equiv\left\{\begin{array}{ccc}2x-3y&=&-5\\y-2z&=&-1\end{array}\right.

a) Estudia y determina la posición relativa de r y s.

b) Calcula la distancia entre r y s.

Solución:

a) Recordamos el estudio de la posición relativa de dos rectas en el espacio.

Necesitamos un punto y el vector director de cada recta. En el caso de r, P_r=(-1,0,-1) y \vec v_r=(2,1,3).
El caso de la recta s es más complicado porque la recta está en implícitas. El vector director \vec v_s será proporcional al siguiente:

\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\2&-3&0\\0&1&-2\end{vmatrix}=6\vec\imath+2\vec k+4\vec\jmath=(6,4,2)

Luego tomamos \vec v_s=(3,2,1) que es proporcional al anterior.
Para calcular un punto cualquiera P_s hacemos, por ejemplo, z=0, sustituimos en las implícitas y resolvemos:

\left\{\begin{array}{ccc}2x-3y&=&-5\\y&=&-1\end{array}\right.

Sistema cuya solución es P_s=(-4,-1,0).

Con P_r y P_s construimos el vector \overrightarrow{P_rP_s}=(-4,-1,0)-(-1,0,-1)=(-3,-1,1).

Calculamos \mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix}=\mbox{rg}\begin{pmatrix}2&1&3\\3&2&1\end{pmatrix} que es claramente 2 ya que

\begin{vmatrix}2&1\\3&2\end{vmatrix}=1\neq0

Ahora calculamos el \mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix}=\mbox{rg}\begin{pmatrix}2&1&3\\3&2&1\\-3&-1&1\end{pmatrix}

\begin{vmatrix}2&1&3\\3&2&1\\-3&-1&1\end{vmatrix}=4-3-9+18-3+2=9\neq0

Luego el \mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix}=3.

Por tanto, las dos rectas se cruzan sin cortarse.

b) La distancia de dos rectas que se cruzan es:

\boxed{d(r,s)=\dfrac{|[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{P_rP_s}]|}{|\vec v_r\times\vec v_s|}}

[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{P_rP_s}]=\begin{vmatrix}2&1&3\\3&2&1\\-3&-1&1\end{vmatrix}=9

\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\2&1&3\\3&2&1\end{vmatrix}=\vec\imath+9\vec\jmath+4\vec k-3\vec k-2\vec\jmath-6\vec\imath=(-5,7,1)

Luego la distancia es:

d(r,s)=\dfrac 9{\sqrt{(-5)^2+7^2+1^2}}=\dfrac 9{\sqrt{75}}=\dfrac{3\sqrt3}5\mbox{ u.l.}

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