Considera las rectas
a) Estudia y determina la posición relativa de r y s.
b) Calcula la distancia entre r y s.
Solución:
a) Recordamos el estudio de la posición relativa de dos rectas en el espacio.
Necesitamos un punto y el vector director de cada recta. En el caso de r, 
El caso de la recta s es más complicado porque la recta está en implícitas. El vector director 
Luego tomamos 
Para calcular un punto cualquiera 
Sistema cuya solución es 
Con 
Calculamos 
Ahora calculamos el
Luego el 
Por tanto, las dos rectas se cruzan sin cortarse.
b) La distancia de dos rectas que se cruzan es:
![\boxed{d(r,s)=\dfrac{|[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{P_rP_s}]|}{|\vec v_r\times\vec v_s|}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cboxed%7Bd%28r%2Cs%29%3D%5Cdfrac%7B%7C%5B%5Cvec+v_r%2C%5Cvec+v_s%2C%5Coverrightarrow%7BP_rP_s%7D%5D%7C%7D%7B%7C%5Cvec+v_r%5Ctimes%5Cvec+v_s%7C%7D%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "\boxed{d(r,s)=\dfrac{|[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{P_rP_s}]|}{|\vec v_r\times\vec v_s|}}")
![[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{P_rP_s}]=\begin{vmatrix}2&1&3\\3&2&1\\-3&-1&1\end{vmatrix}=9](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5B%5Cvec+v_r%2C%5Cvec+v_s%2C%5Coverrightarrow%7BP_rP_s%7D%5D%3D%5Cbegin%7Bvmatrix%7D2%261%263%5C%5C3%262%261%5C%5C-3%26-1%261%5Cend%7Bvmatrix%7D%3D9&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{P_rP_s}]=\begin{vmatrix}2&1&3\\3&2&1\\-3&-1&1\end{vmatrix}=9")
Luego la distancia es:
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