Problema 341

Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat II, ,

Considera la función f definida por f(x)=a\ln(x)+bx^2+x para x>0, donde ln denota logaritmo neperiano.

a) Halla a y b sabiendo que f tiene extremos relativos en x=1 y en x=2.

b) ¿Qué tipo de extremos tiene f en x=1 y en x=2?

Solución:

a) Que f tenga extremos relativos en x=1 y x=2 significa que: f'(1)=0 y f'(2)=0.
Aprovechamos ambas ecuaciones:

f'(x)=\dfrac ax+2bx+1~;\\\\\bullet f'(1)=a+2b+1=0~;\\\\\bullet f'(2)=\dfrac a2+4b+1=0

Tenemos así el siguiente sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{array}{rcc}a+2b+1&=&0\\\dfrac a2+4b+1&=&0\end{array}\right.\longrightarrow\left\{\begin{array}{rcc}a+2b&=&-1\\a+8b&=&-2\end{array}\right.

Sistema cuya solución es: a=\frac{-2}3 y b=\frac{-1}3.

b) Para ver qué tipo de extremos tiene aplicamos el test de la derivada segunda:

f''(x)=\dfrac{-a}{x^2}+2b

Recordemos que a=\frac{-2}3 y b=\frac{-1}3, por tanto:

f''(x)=\dfrac{2}{3x^2}-\dfrac 13

  • f''(1)=\frac 23-\frac 13=\frac 13>0, por tanto en x=1 hay un mínimo.
  • f''(2)=\frac 16-\frac 13=-\frac 16<0, por tanto en x=2 hay un máximo.

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