Considera la función 
a) Determina el punto de la gráfica de f en el que la recta tangente es 
b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, la recta
c) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.
Solución:
a) En el punto de tangencia entre f y la recta y, se cumple que 
En nuestro caso, 
Dado que 
Solo nos falta la coordenada y del punto de tangencia:
Luego el punto de tangencia es 
b) Tanto f como la recta son funciones elementales conocidas.
es siempre positiva) y se acerca asintóticamente a 0 cuando x→+∞.
Con estos datos, podemos hacer un esbozo semejante a la siguiente gráfica.
c) El área S del recinto sombreado entre f, la recta tangente y el eje de ordenadas es:
![\displaystyle S=\int_{\frac{-1}2}^0e^{-2x}-(-2ex)~dx=\int_{\frac{-1}2}^0e^{-2x}~dx-\int_{\frac{-1}2}^0(-2ex)~dx=\\\\=\frac{-1}2\int_{\frac{-1}2}^0-2e^{-2x}~dx+e\int_{\frac{-1}2}^02x~dx=\\\\=\frac{-1}2\left[e^{-2x}\right]_{\frac{-1}2}^0+e\left[x^2\right]_{\frac{-1}2}^0=\\\\=\frac{-1}2\left(1-e\right)+e\left(0-\left(\frac{-1}2\right)^2\right)=\frac{-1}2+\frac e2-\frac e4=\frac{e-2}4\mbox{ u.a.}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5Cint_%7B%5Cfrac%7B-1%7D2%7D%5E0e%5E%7B-2x%7D-%28-2ex%29%7Edx%3D%5Cint_%7B%5Cfrac%7B-1%7D2%7D%5E0e%5E%7B-2x%7D%7Edx-%5Cint_%7B%5Cfrac%7B-1%7D2%7D%5E0%28-2ex%29%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cfrac%7B-1%7D2%5Cint_%7B%5Cfrac%7B-1%7D2%7D%5E0-2e%5E%7B-2x%7D%7Edx%2Be%5Cint_%7B%5Cfrac%7B-1%7D2%7D%5E02x%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cfrac%7B-1%7D2%5Cleft%5Be%5E%7B-2x%7D%5Cright%5D_%7B%5Cfrac%7B-1%7D2%7D%5E0%2Be%5Cleft%5Bx%5E2%5Cright%5D_%7B%5Cfrac%7B-1%7D2%7D%5E0%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cfrac%7B-1%7D2%5Cleft%281-e%5Cright%29%2Be%5Cleft%280-%5Cleft%28%5Cfrac%7B-1%7D2%5Cright%29%5E2%5Cright%29%3D%5Cfrac%7B-1%7D2%2B%5Cfrac+e2-%5Cfrac+e4%3D%5Cfrac%7Be-2%7D4%5Cmbox%7B+u.a.%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle S=\int_{\frac{-1}2}^0e^{-2x}-(-2ex)~dx=\int_{\frac{-1}2}^0e^{-2x}~dx-\int_{\frac{-1}2}^0(-2ex)~dx=\\\\=\frac{-1}2\int_{\frac{-1}2}^0-2e^{-2x}~dx+e\int_{\frac{-1}2}^02x~dx=\\\\=\frac{-1}2\left[e^{-2x}\right]_{\frac{-1}2}^0+e\left[x^2\right]_{\frac{-1}2}^0=\\\\=\frac{-1}2\left(1-e\right)+e\left(0-\left(\frac{-1}2\right)^2\right)=\frac{-1}2+\frac e2-\frac e4=\frac{e-2}4\mbox{ u.a.}")
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