Considera la función definida por
.
a) Determina el punto de la gráfica de f en el que la recta tangente es .
b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, la recta y el eje de ordenadas.
c) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.
Solución:
a) En el punto de tangencia entre f y la recta y, se cumple que siendo
la pendiente de la recta tangente y
la coordenada x del punto de tangencia.
En nuestro caso, .
Dado que , entonces:
Solo nos falta la coordenada y del punto de tangencia:
Luego el punto de tangencia es .
b) Tanto f como la recta son funciones elementales conocidas.
es una función exponencial. Corta al eje y en (0,1), no corta al eje x, es estrictamente decreciente porque su derivada es siempre negativa, es una función siempre positiva, convexa (ya que
es siempre positiva) y se acerca asintóticamente a 0 cuando x→+∞.
es una función lineal. Corta al eje x e y en el punto (0,0), es decreciente y también pasa por
que es el punto de tangencia con f.
Con estos datos, podemos hacer un esbozo semejante a la siguiente gráfica.
c) El área S del recinto sombreado entre f, la recta tangente y el eje de ordenadas es:
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