Problema 342

Considera la función f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R definida por f(x)=e^{-2x}.

a) Determina el punto de la gráfica de f en el que la recta tangente es y=-2ex.

b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, la recta y=-2ex y el eje de ordenadas.

c) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.


Solución:

a) En el punto de tangencia entre f y la recta y, se cumple que m_y=f'(x_0) siendo m_y la pendiente de la recta tangente y x_0 la coordenada x del punto de tangencia.
En nuestro caso, m_y=-2e.

Dado que f'(x)=-2e^{-2x}, entonces:

-2e=-2e^{-2x_0}~;\\\\1=-2x_0~;\\\\x_0=-\frac 12

Solo nos falta la coordenada y del punto de tangencia:

f(\frac{-1}2)=e^{-2\frac{-1}2}=e

Luego el punto de tangencia es (\frac{-1}2,e).


b) Tanto f como la recta son funciones elementales conocidas.

  • f(x)=e^{-2x} es una función exponencial. Corta al eje y en (0,1), no corta al eje x, es estrictamente decreciente porque su derivada es siempre negativa, es una función siempre positiva, convexa (ya que f''(x)=4e^{-2x} es siempre positiva) y se acerca asintóticamente a 0 cuando x→+∞.
  • y=-2ex es una función lineal. Corta al eje x e y en el punto (0,0), es decreciente y también pasa por (\frac{-1}2,e) que es el punto de tangencia con f.

Con estos datos, podemos hacer un esbozo semejante a la siguiente gráfica.

p342


c) El área S del recinto sombreado entre f, la recta tangente y el eje de ordenadas es:

\displaystyle S=\int_{\frac{-1}2}^0e^{-2x}-(-2ex)~dx=\int_{\frac{-1}2}^0e^{-2x}~dx-\int_{\frac{-1}2}^0(-2ex)~dx=\\\\=\frac{-1}2\int_{\frac{-1}2}^0-2e^{-2x}~dx+e\int_{\frac{-1}2}^02x~dx=\\\\=\frac{-1}2\left[e^{-2x}\right]_{\frac{-1}2}^0+e\left[x^2\right]_{\frac{-1}2}^0=\\\\=\frac{-1}2\left(1-e\right)+e\left(0-\left(\frac{-1}2\right)^2\right)=\frac{-1}2+\frac e2-\frac e4=\frac{e-2}4\mbox{ u.a.}

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