Problema 343

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&y&+&mz&=&m^2\\&&y&-&z&=&m\\x&+&my&+&z&=&m\end{array}\right.

a) Discute el sistema según los valores del parámetro m.

b) Resuélvelo para m=1. Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que z=2.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius.

Comenzamos por escribir la matriz de coeficientes y la matriz ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&1&m\\0&1&-1\\1&m&1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&1&m&m^2\\0&1&-1&m\\1&m&1&m\end{pmatrix}

Estudiamos el rango de M:

\begin{vmatrix}1&1&m\\0&1&-1\\1&m&1\end{vmatrix}=1-1-m+m=0

Este resultado significa que el rango de M es menor de 3 independiente de m. En concreto rg(M)=2 para todo m ya que \begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0.

Veamos ahora el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}1&1&m^2\\0&1&m\\1&m&m\end{vmatrix}=m\begin{vmatrix}1&1&m\\0&1&1\\1&m&1\end{vmatrix}=m(1+1-m-m)=m(2-2m)

determinante cuyas raíces son m=0 y m=1. Por tanto:

  • Si m≠0 y m≠1, rg(M)=2 y rg(M*)=3 y el sistema es incompatible.
  • Si m=0 o m=1, rg(M)=2=rg(M*) con n=3, por tanto el sistema es compatible indeterminado.

b) Para m=1, el sistema original es equivalente a:

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&y&+&z&=&1\\&&y&-&z&=&1\end{array}\right.

La solución del problema tiene n-rg(M)=3-2=1 parámetro. Hacemos el cambio z

\left\{\begin{array}{ccccc}x&+&y&=&1-\lambda\\&&y&=&1+\lambda\end{array}\right.

Sistema cuya solución es:

\left\{\begin{array}{l}x=-2\lambda\\y=1+\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.

Luego nos piden si existe alguna solución donde z=2.
En efecto, como z=λ entonces λ=2, de donde la solución completa es: (-4,3,2).

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