Considera las rectas
a) Halla los valores de m y n para los que r y s se cortan perpendicularmente.
b) Para m=3 y n=1, calcula la ecuación general del plano que contiene a r y a s.
Solución:
a) Pasamos la recta r a paramétricas:
De aquí obtenemos un punto de r y su vector director: y
.
Pasamos la recta s a paramétricas, para ello hacemos el cambio z=μ y sustituimos en las ecuaciones implícitas de s:
Entonces las paramétricas de s son:
De aquí obtenemos un punto de s y su vector director: y
.
Según el estudio de la posición relativa de dos rectas, para que dos rectas se corten:
ha de ser 2.
ha de ser 2 también, siendo
. Para ello el determinante de esa matriz ha de ser 0:
Tenemos así una primera ecuación .
Por otra parte, para que ambas rectas sean perpendiculares también lo deben ser sus vectores directores. Si ambos vectores son perpendiculares se cumple: .
de donde obtenemos la segunda ecuación .
Solo nos queda resolver el sistema:
cuya solución es m=4 y n=5/2.
b) El plano que contiene a dos rectas solo existe si ambas rectas no se cruzan sin cortarse, así pues comenzaremos por calcular la posición relativa de ambas rectas.
ya que
ya que
y
Luego ambas rectas se cortan en un punto.
El plano buscado es: .
En forma general, el plano es .
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