Problema 344

Considera las rectas

r\equiv\dfrac{x-1}2=\dfrac{y+1}m=z\qquad s\equiv\left\{\begin{array}{ccc}x+nz&=&-2\\y-z&=&-3\end{array}\right.

a) Halla los valores de m y n para los que r y s se cortan perpendicularmente.

b) Para m=3 y n=1, calcula la ecuación general del plano que contiene a r y a s.


Solución:

a) Pasamos la recta r a paramétricas:

\left\{\begin{array}{l}x=1+2\lambda\\y=-1+m\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.

De aquí obtenemos un punto de r y su vector director: P_r=(1,-1,0) y \vec v_r=(2,m,1).

Pasamos la recta s a paramétricas, para ello hacemos el cambio z=μ y sustituimos en las ecuaciones implícitas de s:

\left\{\begin{array}{ccc}x&=&-2-n\mu\\y&=&-3+\mu\end{array}\right.

Entonces las paramétricas de s son:

\left\{\begin{array}{l}x=-2-n\mu\\y=-3+\mu\\z=\mu\end{array}\right.

De aquí obtenemos un punto de s y su vector director: P_s=(-2,-3,0) y \vec v_s=(-n,1,1).

Según el estudio de la posición relativa de dos rectas, para que dos rectas se corten:

  • \mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix} ha de ser 2.
  • \mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix} ha de ser 2 también, siendo \overrightarrow{P_rP_s}=(-2,-3,0)-(1,-1,0)=(-3,-2,0). Para ello el determinante de esa matriz ha de ser 0:
    \begin{vmatrix}2&m&1\\-n&1&1\\-3&-2&0\end{vmatrix}=-3m+2n+3+4=-3m+2n+7=0

Tenemos así una primera ecuación -3m+2n=-7.

Por otra parte, para que ambas rectas sean perpendiculares también lo deben ser sus vectores directores. Si ambos vectores son perpendiculares se cumple: \vec v_r\cdot\vec v_r=0.

\vec v_r\cdot\vec v_s=(2,m,1)\cdot(-n,1,1)=-2n+m+1=0

de donde obtenemos la segunda ecuación -2n+m=-1.

Solo nos queda resolver el sistema:

\left\{\begin{array}{l}-3m+2n=-7\\-2n+m=-1\end{array}\right.

cuya solución es m=4 y n=5/2.


b) El plano que contiene a dos rectas solo existe si ambas rectas no se cruzan sin cortarse, así pues comenzaremos por calcular la posición relativa de ambas rectas.

  • \mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix}=\mbox{rg}\begin{pmatrix}2&3&1\\-1&1&1\end{pmatrix}=2 ya que \begin{vmatrix}2&3\\-1&1\end{vmatrix}=2+3=5\neq0
  • \mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix}=\mbox{rg}\begin{pmatrix}2&3&1\\-1&1&1\\-3&-2&0\end{pmatrix}=2 ya que \begin{vmatrix}2&3&1\\-1&1&1\\-3&-2&0\end{vmatrix}=0 y \begin{vmatrix}2&3\\-1&1\end{vmatrix}=2+3=5\neq0

Luego ambas rectas se cortan en un punto.

El plano buscado es: \pi\equiv(x,y,z)=P_r+\lambda\vec v_r+\mu\vec v_s.

\begin{vmatrix}x-1&y+1&z\\2&3&1\\-1&1&1\end{vmatrix}=3(x-1)-(y+1)+2z+3z-2(y+1)-(x-1)=\\\\=2(x-1)-3(y+1)+5z=2x-3y+5z-5

En forma general, el plano es \pi\equiv 2x-3y+5z-5=0.

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