Problema 345

p345 Se desea construir un rectángulo, como el de la figura, de área máxima. La base está situada sobre el eje OX, un vértice está en la recta y=x y el otro, en la recta y=4-x. Se pide:

a) Halla la altura del rectángulo en función de a (ver la figura).

b) Halla la base del rectángulo en función de a.

c) Encuentra el valor de a que hace máximo el área del rectángulo.

Solución:

a) La altura del rectángulo es el valor y que toma la recta y=x. Cuando x=a, tenemos la altura $\boxed{y=a}$ .

b) Como se dijo antes, cuando x=a, la altura en la recta y=x es y=a. Esta altura coincide con la altura del rectángulo en la recta y=4-x, por tanto:

$a=4-x$

de donde obtenemos la posición del lado derecho del rectángulo:

$x=4-a$

por lo que la base del rectángulo mide

$(4-a)-a=\boxed{4-2a}$ .

c) Tenemos que optimizar la función área S del rectángulo. Recordamos que el área del rectángulo es base×altura:

$S(a)=(4-2a)a=4a-2a^2$

Calculamos sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):

$S'(a)=4-4a=0$

ecuación cuya solución es a=1 que es el único punto crítico.
Aplicamos el test de la derivada segunda para determinar si se trata de un máximo o un mínimo:

$S''(a)=-4~;\\S''(1)=-4<0$