Problema 346

Sea f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R la función definida por f(x)=e^{2-x}.

a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=2.

b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, el eje de ordenadas y la recta x+y=3.

c) Calcula el área del recinto indicado.


Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

En nuestro caso x_0=2 de donde

f(2)=e^0=1~;\\\\f'(x)=-e^{2-x}\longrightarrow f'(2)=-e^0=-1

Sustituyendo:

y-1=-1(x-2)~;\\\\y=-x+3


b) f es una función elemental. Sabemos que e^x es una función exponencial creciente, convexa que tiene asíntota horizontal y=0 cuando x→-∞. También sabemos que pasa por el punto (1,0).

exLa función e^{-x} es simétrica respecto del eje OY de la función e^x, y la función e^{2-x} es la misma que e^{-x} trasladada horizontalmente 2 unidades hacia la derecha.

La recta x+y=3 es la recta tangente a f calculada en el apartado a). Pasa por los puntos (0,3) y (2,1).

Con todos estos datos, el esbozo de las gráficas es semejante a la siguiente figura:

p346


c) Nos piden calcular el área S de la región sombreada.

\displaystyle S=\int_0^2e^{2-x}-(3-x)~dx=\left[-e^{2-x}-3x+\frac{x^2}2\right]_0^2=\\\\=\left(-e^0-6+2\right)-\left(-e^2-0+0\right)=e^2-5\mbox{ u.a}

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