Sea la función definida por
.
a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=2.
b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, el eje de ordenadas y la recta .
c) Calcula el área del recinto indicado.
Solución:
a) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto es:
En nuestro caso de donde
Sustituyendo:
b) f es una función elemental. Sabemos que es una función exponencial creciente, convexa que tiene asíntota horizontal y=0 cuando x→-∞. También sabemos que pasa por el punto (1,0).
La función
es simétrica respecto del eje OY de la función
, y la función
es la misma que
trasladada horizontalmente 2 unidades hacia la derecha.
La recta es la recta tangente a f calculada en el apartado a). Pasa por los puntos (0,3) y (2,1).
Con todos estos datos, el esbozo de las gráficas es semejante a la siguiente figura:
c) Nos piden calcular el área S de la región sombreada.
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