Problema 346

Sea $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ la función definida por $f(x)=e^{2-x}$ .

a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=2.

b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, el eje de ordenadas y la recta $x+y=3$ .

c) Calcula el área del recinto indicado.

Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto $x=x_0$ es:

$\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}$

En nuestro caso $x_0=2$ de donde

$f(2)=e^0=1~;\\\\f'(x)=-e^{2-x}\longrightarrow f'(2)=-e^0=-1$

Sustituyendo:

$y-1=-1(x-2)~;\\\\y=-x+3$

b) f es una función elemental. Sabemos que $e^x$ es una función exponencial creciente, convexa que tiene asíntota horizontal y=0 cuando x→-∞. También sabemos que pasa por el punto (1,0).

La función $e^{-x}$ es simétrica respecto del eje OY de la función $e^x$ , y la función $e^{2-x}$ es la misma que $e^{-x}$ trasladada horizontalmente 2 unidades hacia la derecha.