Problema 347

Considera las matrices

$A=\begin{pmatrix}2&-1&\lambda\\2&-\lambda&1\\2\lambda&-1&1\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\qquad X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$

a) Discute el rango de A según los valores del parámetro λ.

b) Para λ=-2, estudia y resuelve el sistema dado por AX=B.

Solución:

a) La matriz A es una matriz 3×3, luego su rango máximo podría ser 3. Veámoslo:

$\begin{vmatrix}2&-1&\lambda\\2&-\lambda&1\\2\lambda&-1&1\end{vmatrix}=-2\lambda-2\lambda-2\lambda+2\lambda^2+2+2=2\lambda^3-6\lambda+4$

determinante cuyas raíces son λ=1 y λ=-2. Por tanto:

Si λ≠1 y λ≠-2, el rango de A es 3.
Si λ=1, entonces $A=\begin{pmatrix}2&-1&1\\2&-1&1\\2&-1&1\end{pmatrix}$ cuyo rango es 1 ya que las filas 2 y 3 son iguales que la primera, o dicho de otro modo, solo hay una fila o columna linealmente independiente.
Si λ=-2, entonces $A=\begin{pmatrix}2&-1&-2\\2&2&1\\-4&-1&1\end{pmatrix}$ cuyo rango es 2 ya que $\begin{vmatrix}2&-1\\2&2\end{vmatrix}=6\neq0$ .

b) Para λ=-2 el sistema AX=B es:

$\left\{\begin{array}{ccccccc}2x&-&y&-&2z&=&-1\\2x&+&2y&+&z&=&1\\-4x&-&y&+&z&=&0\end{array}\right.$

El rango de la matriz de coeficientes $\begin{pmatrix}2&-1&-2\\2&2&1\\-4&-1&1\end{pmatrix}$ ya sabemos que es 2, lo demostramos en el apartado a). Nos queda determinar el rango de la matriz ampliada: