Problema 347

Considera las matrices

A=\begin{pmatrix}2&-1&\lambda\\2&-\lambda&1\\2\lambda&-1&1\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\qquad X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}

a) Discute el rango de A según los valores del parámetro λ.

b) Para λ=-2, estudia y resuelve el sistema dado por AX=B.


Solución:

a) La matriz A es una matriz 3×3, luego su rango máximo podría ser 3. Veámoslo:

\begin{vmatrix}2&-1&\lambda\\2&-\lambda&1\\2\lambda&-1&1\end{vmatrix}=-2\lambda-2\lambda-2\lambda+2\lambda^2+2+2=2\lambda^3-6\lambda+4

determinante cuyas raíces son λ=1 y λ=-2. Por tanto:

  • Si λ≠1 y λ≠-2, el rango de A es 3.
  • Si λ=1, entonces A=\begin{pmatrix}2&-1&1\\2&-1&1\\2&-1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 1 ya que las filas 2 y 3 son iguales que la primera, o dicho de otro modo, solo hay una fila o columna linealmente independiente.
  • Si λ=-2, entonces A=\begin{pmatrix}2&-1&-2\\2&2&1\\-4&-1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}2&-1\\2&2\end{vmatrix}=6\neq0.

b) Para λ=-2 el sistema AX=B es:

\left\{\begin{array}{ccccccc}2x&-&y&-&2z&=&-1\\2x&+&2y&+&z&=&1\\-4x&-&y&+&z&=&0\end{array}\right.

El rango de la matriz de coeficientes \begin{pmatrix}2&-1&-2\\2&2&1\\-4&-1&1\end{pmatrix} ya sabemos que es 2, lo demostramos en el apartado a). Nos queda determinar el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}2&-1&-1\\2&2&1\\-4&-1&0\end{vmatrix}=4+2-8+2=0

Por tanto, el rango de la matriz ampliada también es 2 y, según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible indeterminado.

El rango de las matrices de coeficientes y ampliada es 2, por lo que el sistema original es equivalente a:

\left\{\begin{array}{ccccccc}2x&-&y&-&2z&=&-1\\2x&+&2y&+&z&=&1\end{array}\right.

Para resolver el sistema hacemos el cambio z=μ, de donde:

\left\{\begin{array}{ccccc}2x&-&y&=&-1+2\mu\\2x&+&2y&=&1-\mu\end{array}\right.

Si a la ecuación segunda le restamos la primera obtenemos

\left\{\begin{array}{ccccc}2x&-&y&=&-1+2\mu\\&&3y&=&2-3\mu\end{array}\right.

de donde y=\dfrac{2-3\mu}3 y:

2x=-1+2\mu+y~;\\\\2x=-1+2\mu+\dfrac{2-3\mu}3=\dfrac{-3+6\mu+2-3\mu}3=\dfrac{-1+3\mu}3~;\\\\x=\dfrac{-1+3\mu}6

En resumen, la solución buscada es:

\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{-1+3\mu}6\\\\y=\dfrac{2-3\mu}3\\\\z=\mu\end{array}\right.

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