Considera las matrices
a) Discute el rango de A según los valores del parámetro λ.
b) Para λ=-2, estudia y resuelve el sistema dado por AX=B.
Solución:
a) La matriz A es una matriz 3×3, luego su rango máximo podría ser 3. Veámoslo:
determinante cuyas raíces son λ=1 y λ=-2. Por tanto:
- Si λ≠1 y λ≠-2, el rango de A es 3.
- Si λ=1, entonces
cuyo rango es 1 ya que las filas 2 y 3 son iguales que la primera, o dicho de otro modo, solo hay una fila o columna linealmente independiente.
- Si λ=-2, entonces
cuyo rango es 2 ya que
.
b) Para λ=-2 el sistema AX=B es:
El rango de la matriz de coeficientes ya sabemos que es 2, lo demostramos en el apartado a). Nos queda determinar el rango de la matriz ampliada:
Por tanto, el rango de la matriz ampliada también es 2 y, según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible indeterminado.
El rango de las matrices de coeficientes y ampliada es 2, por lo que el sistema original es equivalente a:
Para resolver el sistema hacemos el cambio z=μ, de donde:
Si a la ecuación segunda le restamos la primera obtenemos
de donde y:
En resumen, la solución buscada es:
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