Problema 348

Considera el plano π de ecuación x+2y+z=6.

a) Determina la recta perpendicular a π que pasa por el origen de coordenadas.

b) Halla el punto simétrico del origen de coordenadas con respecto a π.

c) Calcula el volumen del tetraedro determinado por el origen de coordenadas y los puntos de corte de π con los ejes de coordenadas.


Solución:

a) La recta buscada pasa por el origen de coordenadas P(0,0,0) y tiene por vector director el vector normal del plano: \vec v_r=\vec n_{\pi}=(1,2,1).
Escribimos la recta en forma paramétrica:

\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=2\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.


p120

b) Para calcular el punto simétrico de P respecto del plano π, necesitamos una recta perpendicular a π que pase por P, cálculo que hicimos en el apartado a).

Esta recta cortará al plano en el punto M. Calculamos dicho punto sustituyendo las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

\lambda+2(2\lambda)+\lambda=6~;\\\\6\lambda=6~;\\\\\lambda=1

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de la recta obtenemos el punto M(1,2,1).

Por último, el punto M es el punto medio entre P y P´, luego:

M=\dfrac{P+P'}2~;\\\\P'=2M-P=2(1,2,1)-(0,0,0)=(2,4,2)


planoejesc) El plano π corta a los ejes en tres puntos A, B y C.
El punto A es donde el plano se corta con el eje x. Dicho eje es una recta que tiene por ecuaciones implíticas

\mbox{eje }x\left\{\begin{array}{l}y=0\\z=0\end{array}\right.

Para calcular el punto A resolvemos el sistema de ecuaciones formado por la ecuación de π y las dos ecuaciones del eje x:

A=\pi\cap\mbox{eje }x=\left\{\begin{array}{l}x+2y+z=6\\y=0\\z=0\end{array}\right.

cuya solución es A=(6,0,0).

Calculamos de manera análoga los puntos B y C:

B=\pi\cap\mbox{eje }y=\left\{\begin{array}{l}x+2y+z=6\\x=0\\z=0\end{array}\right.

de donde B=(0,3,0).

C=\pi\cap\mbox{eje }z=\left\{\begin{array}{l}x+2y+z=6\\x=0\\y=0\end{array}\right.

de donde C=(0,0,6).

A partir de estos puntos obtenemos los vectores \overrightarrow{PA}=(6,0,0)-(0,0,0)=(6,0,0), \overrightarrow{PB}=(0,3,0) y \overrightarrow{PC}=(0,0,6).

El volumen del tetraedro formado por el origen P y los puntos A, B y C es:

V=\dfrac 16|[\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}]|

donde [\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}] es el producto mixto de esos tres vectores:

[\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}]=\begin{vmatrix}6&0&0\\0&3&0\\0&0&6\end{vmatrix}=108

Luego el volumen buscado es:

V=\dfrac 16\cdot 108=18\mbox{ u.v.}

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