Problema 349

Considera la función f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R dada por

f(x)=\left\{\begin{array}{rcc}-xe^{x-1}&\mbox{si}&x\leq0\\xe^{x-1}&\mbox{si}&0<x\leq1\\xe^{1-x}&\mbox{si}&1<x\end{array}\right.

a) Estudia la derivabilidad de f en x=0 y en x=1.

b) Estudia la existencia de asíntotas horizontales de la gráfica de f.


Solución:

a) La derivabilidad de una función en un punto depende de que sea continua en dicho punto:

  • Continuidad en x=0
    1) \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}xe^{x-1}=0
    2) \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-}-xe^{x-1}=0
    3) f(0)=-x\cdot e^{-1}=0
    Esta función es continua en x=0.
  • Continuidad en x=1
    1) \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^+}xe^{1-x}=1
    2) \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^-}xe^{x-1}=1
    3) f(1)=1\cdot e^0=1
    Esta función es continua en x=1.

Ya que esta función es continua tanto en x=0 como en x=1, veamos si también es derivable. Primero calculamos la función derivada:

f'(x)=\left\{\begin{array}{rcc}-e^{x-1}(1+x)&\mbox{si}&x<0\\e^{x-1}(1+x)&\mbox{si}&0<x<1\\e^{1-x}(1-x)&\mbox{si}&1<x\end{array}\right.

  • Derivabilidad en x=0
    1) \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}e^{x-1}(1+x)=e^{-1}
    2) \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-}-e^{x-1}(1+x)=-e^{-1}
    Esta función no es derivable en x=0.
  • Derivabilidad en x=1
    1) \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^+}e^{1-x}(1-x)=0
    2) \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^-}e^{x-1}(1+x)=2
    Esta función no es derivable en x=1.

b) Recordamos en primer lugar que las indeterminaciones del tipo ∞/∞ las resolvemos utilizando la regla de L’Hôpital. También que a^b=\dfrac 1{a^{-b}}.

Cálculo de asíntotas horizontales:

  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}-xe^{x-1}=\infty\cdot0=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-x}{e^{1-x}}=\frac{\infty}{\infty}\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-1}{-e^{1-x}}=0
    Por tanto, cuanto x→-∞, f tiende asintóticamente a la recta y=0.
  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}xe^{1-x}=\infty\cdot0=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{e^{x-1}}=\frac{\infty}{\infty}\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{e^{x-1}}=0
    Por tanto, cuanto x→+∞, f tiende asintóticamente a la recta y=0

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