Considera la función dada por
a) Estudia la derivabilidad de f en x=0 y en x=1.
b) Estudia la existencia de asíntotas horizontales de la gráfica de f.
Solución:
a) La derivabilidad de una función en un punto depende de que sea continua en dicho punto:
- Continuidad en x=0
1)
2)
3)
Esta función es continua en x=0. - Continuidad en x=1
1)
2)
3)
Esta función es continua en x=1.
Ya que esta función es continua tanto en x=0 como en x=1, veamos si también es derivable. Primero calculamos la función derivada:
- Derivabilidad en x=0
1)
2)
Esta función no es derivable en x=0. - Derivabilidad en x=1
1)
2)
Esta función no es derivable en x=1.
b) Recordamos en primer lugar que las indeterminaciones del tipo ∞/∞ las resolvemos utilizando la regla de L’Hôpital. También que .
Cálculo de asíntotas horizontales:
Por tanto, cuanto x→-∞, f tiende asintóticamente a la recta y=0.
Por tanto, cuanto x→+∞, f tiende asintóticamente a la recta y=0
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