Problema 350

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Selectividad Mat II, ,

Considera la función f:~(-\frac e2,+\infty)\rightarrow\mathbb R definida por f(x)=\ln(2x+e), donde ln denota logaritmo neperiano.

a) Haz un esbozo de la gráfica de f calculando sus puntos de corte con los ejes coordenados.

b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y los ejes de coordenadas.

Solución:

lnx
y=\ln(x)

a) Conocemos la función elemental y=\ln(x) que es estrictamente creciente, cóncava definida en el intervalo (0,+∞), con asíntota vertical x=0 y que pasa por el punto (1,0).

Sabemos que 2x+e=2(x+\frac e2).
La función y=\ln(x+\frac e2) es una traslación horizontal hacia la izquierda de valor \frac e2 de la función y=\ln(x).

Por último, f(x)=\ln(2x+e)=\ln(2(x+\frac e2))=\ln(2)+\ln(x+\frac e2) es una traslación vertical hacia arriba de valor ln(2) de la función y=\ln(x+\frac e2).

El esbozo de la gráfica es semejante a la siguiente gráfica:

p350

Esta gráfica corta al eje x en:

0=\ln(2x+e)~;\\\\2x+e=1~;\\\\2x=1-e~;\\\\x=\dfrac{1-e}2

esto es, en el punto (\frac{1-e}2,0).
Corta al eje y en:

y=\ln(2\cdot0+e)=1

es decir, en el punto (0,1).

b) El área S a calcular es la de la región sombreada en la gráfica anterior:

\displaystyle S=\int_{\frac{1-e}2}^0\ln(2x+e)~dx

Esta integral la resolvemos por el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=\ln(2x+e)&\longrightarrow&du=\dfrac 2{2x+e}~dx\\dv=dx&\longrightarrow&u=x\end{array}

La integral queda:

\displaystyle S=\left[x\ln(2x+e)\right]_{\frac{1-e}2}^0-\int_{\frac{1-e}2}^0\dfrac{2x}{2x+e}~dx=\\\\=\left[x\ln(2x+e)\right]_{\frac{1-e}2}^0-\left[\int_{\frac{1-e}2}^01~dx+\int_{\frac{1-e}2}^0\dfrac{-e}{2x+e}~dx\right]

ya que \dfrac{2x}{2x+e}=1+\dfrac{-e}{2x+e}.

\displaystyle S=\left[x\ln(2x+e)\right]_{\frac{1-e}2}^0-\left[\int_{\frac{1-e}2}^01~dx+\int_{\frac{1-e}2}^0\dfrac{-e}{2x+e}~dx\right]=\\\\=\left[x\ln(2x+e)\right]_{\frac{1-e}2}^0-\left[x\right]_{\frac{1-e}2}^0+\left[\dfrac e2\ln(2x+e)\right]_{\frac{1-e}2}^0=\\\\=\left[x\ln(2x+e)-x+\dfrac e2\ln(2x+e)\right]_{\frac{1-e}2}^0=\\\\=\dfrac e2+\dfrac{1-e}2=\dfrac 12\mbox{ u.a.}

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