Considera la función 
a) Haz un esbozo de la gráfica de f calculando sus puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y los ejes de coordenadas.
Solución:
a) Conocemos la función elemental
Sabemos que 
La función 
Por último, 
El esbozo de la gráfica es semejante a la siguiente gráfica:
Esta gráfica corta al eje x en:
esto es, en el punto 
Corta al eje y en:
es decir, en el punto (0,1).
b) El área S a calcular es la de la región sombreada en la gráfica anterior:
Esta integral la resolvemos por el método de integración por partes:
La integral queda:
![\displaystyle S=\left[x\ln(2x+e)\right]_{\frac{1-e}2}^0-\int_{\frac{1-e}2}^0\dfrac{2x}{2x+e}~dx=\\\\=\left[x\ln(2x+e)\right]_{\frac{1-e}2}^0-\left[\int_{\frac{1-e}2}^01~dx+\int_{\frac{1-e}2}^0\dfrac{-e}{2x+e}~dx\right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5Cleft%5Bx%5Cln%282x%2Be%29%5Cright%5D_%7B%5Cfrac%7B1-e%7D2%7D%5E0-%5Cint_%7B%5Cfrac%7B1-e%7D2%7D%5E0%5Cdfrac%7B2x%7D%7B2x%2Be%7D%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%5Bx%5Cln%282x%2Be%29%5Cright%5D_%7B%5Cfrac%7B1-e%7D2%7D%5E0-%5Cleft%5B%5Cint_%7B%5Cfrac%7B1-e%7D2%7D%5E01%7Edx%2B%5Cint_%7B%5Cfrac%7B1-e%7D2%7D%5E0%5Cdfrac%7B-e%7D%7B2x%2Be%7D%7Edx%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle S=\left[x\ln(2x+e)\right]_{\frac{1-e}2}^0-\int_{\frac{1-e}2}^0\dfrac{2x}{2x+e}~dx=\\\\=\left[x\ln(2x+e)\right]_{\frac{1-e}2}^0-\left[\int_{\frac{1-e}2}^01~dx+\int_{\frac{1-e}2}^0\dfrac{-e}{2x+e}~dx\right]")
ya que 
![\displaystyle S=\left[x\ln(2x+e)\right]_{\frac{1-e}2}^0-\left[\int_{\frac{1-e}2}^01~dx+\int_{\frac{1-e}2}^0\dfrac{-e}{2x+e}~dx\right]=\\\\=\left[x\ln(2x+e)\right]_{\frac{1-e}2}^0-\left[x\right]_{\frac{1-e}2}^0+\left[\dfrac e2\ln(2x+e)\right]_{\frac{1-e}2}^0=\\\\=\left[x\ln(2x+e)-x+\dfrac e2\ln(2x+e)\right]_{\frac{1-e}2}^0=\\\\=\dfrac e2+\dfrac{1-e}2=\dfrac 12\mbox{ u.a.}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5Cleft%5Bx%5Cln%282x%2Be%29%5Cright%5D_%7B%5Cfrac%7B1-e%7D2%7D%5E0-%5Cleft%5B%5Cint_%7B%5Cfrac%7B1-e%7D2%7D%5E01%7Edx%2B%5Cint_%7B%5Cfrac%7B1-e%7D2%7D%5E0%5Cdfrac%7B-e%7D%7B2x%2Be%7D%7Edx%5Cright%5D%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%5Bx%5Cln%282x%2Be%29%5Cright%5D_%7B%5Cfrac%7B1-e%7D2%7D%5E0-%5Cleft%5Bx%5Cright%5D_%7B%5Cfrac%7B1-e%7D2%7D%5E0%2B%5Cleft%5B%5Cdfrac+e2%5Cln%282x%2Be%29%5Cright%5D_%7B%5Cfrac%7B1-e%7D2%7D%5E0%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%5Bx%5Cln%282x%2Be%29-x%2B%5Cdfrac+e2%5Cln%282x%2Be%29%5Cright%5D_%7B%5Cfrac%7B1-e%7D2%7D%5E0%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cdfrac+e2%2B%5Cdfrac%7B1-e%7D2%3D%5Cdfrac+12%5Cmbox%7B+u.a.%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle S=\left[x\ln(2x+e)\right]_{\frac{1-e}2}^0-\left[\int_{\frac{1-e}2}^01~dx+\int_{\frac{1-e}2}^0\dfrac{-e}{2x+e}~dx\right]=\\\\=\left[x\ln(2x+e)\right]_{\frac{1-e}2}^0-\left[x\right]_{\frac{1-e}2}^0+\left[\dfrac e2\ln(2x+e)\right]_{\frac{1-e}2}^0=\\\\=\left[x\ln(2x+e)-x+\dfrac e2\ln(2x+e)\right]_{\frac{1-e}2}^0=\\\\=\dfrac e2+\dfrac{1-e}2=\dfrac 12\mbox{ u.a.}")
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