Problema 352

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II, ,

Considera las rectas r y s dadas por

r\equiv x-2=y-2=z\qquad s\equiv\left\{\begin{array}{l}x=4+t\\y=4+t\\z=mt\end{array}\right.

a) Determina m para que r y s sean paralelas.

b) Halla, si existe, un valor de m para el que ambas rectas sean la misma.

c) Para m=1, calcula la ecuación del plano que contiene a r y a s.

Solución:

a) Para que dos rectas sean paralelas sus vectores directores \vec v_r=(1,1,1) y \vec v_s=(1,1,m) han de ser paralelos:

\dfrac 11=\dfrac 11=\dfrac 1m

de donde m=1.

b) Para que dos rectas sean coincidentes sus vectores directores han de ser paralelos por lo que ha de ser m=1. Además cualquier punto de una de las rectas debe pertenecer a la otra. Veamos si un punto de la recta r, por ejemplo P_r=(2,2,0) pertenece a s:

\mbox{Si} x=2=4+t\longrightarrow t=-2~;\\\\y=4-2=2~;\\\\z=1\cdot 2=2

Es decir, que si en la recta s el punto tiene coordenada x=2, el punto de dicha recta es (2,2,2) y no (2,2,0), luego para m=1 las rectas son paralelas, y no existe m tal que las rectas sean coincidentes.

c) Para m=1 un punto de r es (2,2,0), y un punto de s es (2,2,2). El vector que une ambos puntos es \overrightarrow{P_rP_s}=(0,0,2).

El plano que contiene a las dos rectas es:

\pi:~(x,y,z)=P_r+\lambda\vec v_r+\mu\overrightarrow{P_rP_s}

En forma paramétrica:

\left\{\begin{array}{l}x=2+\lambda\\y=2+\lambda\\z=\lambda+2\mu\end{array}\right.

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