Problema 353

Se desea construir una canaleta, para la recogida de agua, cuya sección es como la de la figura. La base y los costados deben medir 10 cm y se trata de darle la inclinación adecuada a los costados para obtener una sección de área máxima. Se pide:

p353a) Halla la altura de la canaleta en función de x (ver la figura).

b) Halla el área de la sección de la canaleta en función de x.

c) Encuentra el valor de x que hace máximo dicho área.


Solución:

p353ba) Sabemos que en el exterior de la canaleta se forma un triángulo rectángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras calculamos la altura h de la canaleta:

h^2=10^2-x^2~;\\\\h(x)=\sqrt{100-x^2}


b) El área S de la canaleta es el que corresponde a un trapecio isósceles de base mayor B=10+2x, de base menor b=10 y de altura h, por tanto:

S=\dfrac{B+b}2\cdot h

S(x)=\dfrac{10+2x+10}2\sqrt{100-x^2}~;\\\\S(x)=(x+10)\sqrt{100-x^2}


c) Calculamos los puntos críticos de S(x) calculando su derivada, igualándola a 0 y resolviendo (recordar la tabla de derivadas):

S'(x)=\sqrt{100-x^2}+(x+10)\dfrac{-2x}{2\sqrt{100-x^2}}=0~;\\\\\sqrt{100-x^2}-(x+10)\dfrac x{\sqrt{100-x^2}}=0~;\\\\\sqrt{100-x^2}=(x+10)\dfrac x{\sqrt{100-x^2}}~;\\\\\sqrt{100-x^2}^2=(x+10)x~;\\\\100-x^2=x^2+10x~;\\\\2x^2+10x-100=0~;\\\\x^2+5x-50=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=5 y x=-10. El segundo punto crítico no tiene sentido pues sería una longitud negativa.

Veamos si en x=5 el área es máxima estudiando la monotonía de S:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,5)&(5,10)\\\hline\mbox{Signo }S'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }S(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

Por tanto, con x=5 la función área S alcanza un máximo.

Más problemas de optimización.

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