Se desea construir una canaleta, para la recogida de agua, cuya sección es como la de la figura. La base y los costados deben medir 10 cm y se trata de darle la inclinación adecuada a los costados para obtener una sección de área máxima. Se pide:
a) Halla la altura de la canaleta en función de x (ver la figura).
b) Halla el área de la sección de la canaleta en función de x.
c) Encuentra el valor de x que hace máximo dicho área.
Solución:
a) Sabemos que en el exterior de la canaleta se forma un triángulo rectángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras calculamos la altura h de la canaleta:
b) El área S de la canaleta es el que corresponde a un trapecio isósceles de base mayor , de base menor
y de altura h, por tanto:
c) Calculamos los puntos críticos de calculando su derivada, igualándola a 0 y resolviendo (recordar la tabla de derivadas):
Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=5 y x=-10. El segundo punto crítico no tiene sentido pues sería una longitud negativa.
Veamos si en x=5 el área es máxima estudiando la monotonía de S:
Por tanto, con x=5 la función área S alcanza un máximo.
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