Se desea construir una canaleta, para la recogida de agua, cuya sección es como la de la figura. La base y los costados deben medir 10 cm y se trata de darle la inclinación adecuada a los costados para obtener una sección de área máxima. Se pide:

a) Halla la altura de la canaleta en función de x (ver la figura).
b) Halla el área de la sección de la canaleta en función de x.
c) Encuentra el valor de x que hace máximo dicho área.

Solución:

a) Sabemos que en el exterior de la canaleta se forma un triángulo rectángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras calculamos la altura h de la canaleta:

b) El área S de la canaleta es el que corresponde a un trapecio isósceles de base mayor , de base menor y de altura h, por tanto:

c) Calculamos los puntos críticos de calculando su derivada, igualándola a 0 y resolviendo (recordar la tabla de derivadas):

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=5 y x=-10. El segundo punto crítico no tiene sentido pues sería una longitud negativa.

Veamos si en x=5 el área es máxima estudiando la monotonía de S:

Por tanto, con x=5 la función área S alcanza un máximo.

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Más problemas de optimización.